Question

高三立体几何题①

若四面体ABCD的各条棱长均为2，AO⊥平面BCD于O

（1）求证：O是△BCD的中心

（2）求点A到平面BCD的距离

（3）求异面直线AB和CD的距离

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Answer 1

(1).连接co,do,bo,因为AO垂直面BCD
所以AO分别垂直BO、CO、DO
CO^2=AC^2-AO^2
DO^2=AD^2-A0^2
B0^2=AB^2-A0^2
又AB=AC=AD=2
所以BO=DO=CO,因此o 是bcd的中心

(2)取BC的中点E，连接DE
因为三角形BCD是等边三角形，所以DE垂直BC；
DE^2=DC^2-CE^2得DE^2=3;
AO^2=AD^2-2/3DE^2
得AO=根号2；
即距离为根号2；

（3）取AB，CD的中点F，G；连接CF，DF，FG，AG，BG；
因为CF=DF且G为CD的中点；
所以CD垂直FG；
同理可得FG垂直AB；
所以AB，CD的距离为FG的长；
在三角形FCD中算出FG的长度就可以了；