Question

一道高一数学题 请高手帮帮忙

函数f(x)=a+bsin(x+π/6)+csin(x-π/3)的图象经过点(π/3,2)和点（-π/6,2），若x∈[-π/6,π/3]时，f(x)≥(根号2)恒成立，求实数a的取值范围。(请给出详细过程)

Answer 1

函数f(x)=a+bsin(x+π/6)+csin(x-π/3)的图象经过点(π/3,2)和点（-π/6,2）
所以,有:
2=a+bsin(π/3+π/6)+csin(π/3-π/3)=a+bsinπ/2=a+b
同理,函数图像经过（-π/6,2）有
2=a-c
解出,b=2-a,c=a-2
这样有:f(x)=a+(2-a)sin(x+π/6)+(a-2)sin(x-π/3)
当x∈[-π/6,π/3]时,0≤sin(x+π/6)≤1(因为0≤x+π/6≤π/2)
-1≤sin(x-π/3)≤0 (因为-π/2≤x-π/3≤0)
当a-2≥0时,-a+2≤(a-2)sin(x-π/3)≤0
-a+2≤(2-a)sin(x+π/6)≤0
所以,f(x)≥2-a+2-a+a≥根号2
解出,a≤4-根号2
综合得到:2≤a≤4-根号2
同理,当a-2≤0时,你自己算.

Answer 2

方便起见用角度表示
f(π/3)=a+bsin(90)+csin(0)=a+0+c=2
f(π/6)=a+bsin(0)+csin(90)=a+b+0=2
所以 b=c
f(x)=a+b(sin(x+π/6)+sin(x-π/3))
利用和差化积公式化简得f(x)=a+2bsin(x-π/12)cos(π/4)=a+根号2bsin(x-π/12) x∈[-π/6,π/3]所以 根号2bsin(x-π/12)∈[-1/2,1/2]
所以f(x)=a+根号2bsin(x-π/12)≥a-1/2≥(根号2)
a≥(根号2)+1/2