Question

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的两焦点为F1（-c，0）F2（c，0）椭圆上存在点M使向量F1M乘F2M=0

求 当离心率e取最小值时，点N（0，3）到椭圆上地点的最远距离为（5倍根号2），求此时椭圆G的方程
我是设的H（x，y）是椭圆上任意一点，带入表示出HN的长，想问的是 当讨论0<b<3的时候，为什么y=-b时，HN长度有最大值？

Answer 1

设椭圆上的一点M为(x,y),又因M在椭圆上，所以可以把y换成含有x的代数式，即M(x,[b√(a^2-x^2)]/a)。
所以F1M=(x+c,[b√(a^2-x^2)]/a);
MF2=(c-x,-[b√(a^2-x^2)]/a);
又因根据条件：F1M*F2M=0 。
所以即：（x+c）*（c-x）-{[b√(a^2-x^2)]/a*[b√(a^2-x^2)]/a}=0(向量知识)
划简出来得：x^2=(a^2*c^2-a^2*b^2)/(a^2+b^2)
又因M在椭圆上，所以x有取值范围，即-a=<x=<a,
所以0=<x^2=<a^2
所以即：0=<(a^2*c^2-a^2*b^2)/(a^2+b^2)=<a^2
先算(a^2*c^2-a^2*b^2)/(a^2+b^2)>=0
在划简过程中把b^2换成a^2-c^2(椭圆性质）
最后得：2c^2-a^2>=0
同除a^2,为2*(c/a)^2-1>=0
即e^2>=1/2,所以e>=√2/2,e<=-√2/2(舍去）
再算(a^2*c^2-a^2*b^2)/(a^2+b^2)=<a^2
同样在划简过程中把b^2换成a^2-c^2
最后算的e^2<=1 ,即0<e<1(椭圆e是在(0,1))
所以e的范围取交集，即√2/2 =<e<1

追问

谢谢你 可能是我没有表达清楚
但是现在的问题是我求出来e的范围了 知道其最小值是多少
现在想知道 当e取最小时 椭圆的方程是什么
我不明白讨论不同情况时 点N（0，3）到椭圆上地点的最远距离为（5倍根号2）这一情形是什么样子的？

追答

你好，不是你没有表达轻蹙啊，是我没有回答完整，首先算出离心率后，根据告知的点，导入椭圆方程方可的到。

追问

谢谢你 真的不好意思追问起来没完
但我就是不知道 导入椭圆方程后讨论的这过程

追答

晕 ，能拜托你翻一下书本吗。学习是不可以懒惰的，已经给你点到这一步了，你自己动脑经解一下啊，我给你答案你今天会明天就忘记了，自己努力出来的东西是不会忘记的，学好数学就要不断的做题，你自己琢磨琢磨吧，不会的就看书，解出一道题你会很高兴自己的成功的，祝你能学好数学。多做习题。

Answer 2

设P点为（x，y）
则向量PF1=（x-c，y），向量PF2=（x+c，y）
向量PF1*向量PF2=x^2-c^2+y^2=c^2
得x^2+y^2=2c^2 又因为x^2/a^2+y^2/b^2=1得y^2=b^2-b^2*x^2/a^2
代入前一式子，得（c^2/a^2）*x^2=3c^2-a^2 其中b^2=a^2-c^2
化得x^2=3a^2-（a^4/c^2） 因为x属于【-a，a】，所以原式属于【0，a^2】
得圆心率e属于【根号3/3，根号2/2】
其实就是计算过程烦了点，静下心来做就可以解出来了