Question

已知f(x)=[1+In(x+1)]/x,x>0,若f(x)>k/(x+1)恒成立,求整数k最大值.

Answer 1

若使f(x)>k/(x+1)恒成立
即(1+ln(x+1))/x>k/(x+1)恒成立
因x+1>1
故即是使(x+1)(1+ln(x+1))/x>k恒成立
令g(x)=(x+1)(1+ln(x+1))/x
显然只要g(x)最小值＞k即可
g′(x)=[x-1-ln(x+1)]/x²
令h(x)=x-1-ln(x+1)
h′(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1)
故x>0时，h′(x)>0
即h(x)在(0,+∞)上单调递增
故h(x)>h(0)=-1
显然g′(3)=[2-ln4]/9>0
g′(2)=[1-ln3]/4<0
设当x=t时，g′(x)=0
即t-1-ln(t+1)=0
即ln(t+1)=t-1
显然2<t<3
故g(x)在（0，t）上单调递减，在（t，+∞）上单调递增
故当x=t时，g(x)有最小值
为g(t)=(t+1)(1+ln(t+1))/t
=(t+1)(1+t-1)/t
=t+1
又2<t<3
故3<g(t)<4
显然k的最大值为3