Question

已知椭圆的中心在原点,焦点在y轴上,且长轴为4,短轴长为2,直线l的参数方程为

已知椭圆的中心在原点,焦点在y轴上,且长轴为4,短轴长为2,直线l的参数方程为 x=t,y=m+2t(t为参数),当m为何值时,直线l被椭圆截得的弦长为根号6?

Answer 1

椭圆:y²/4-x²=1①
直线l的参数方程为 x=t,y=m+2t(t为参数)☞直线l:y=m+2x②
①②：(m+2x)²-4x²-4=0☞只有一个交点哇？

Answer 2

思路分析：在利用直线的参数方程求弦长时,先将参数方程代入二次曲线的普通方程得关于t的二次方程At2+Bt+C=0,则弦长为
｜t1-t2｜=.
解：由题设知，椭圆方程为+x2=1.
化直线参数方程(t′为参数).
代入椭圆方程得(m+t′)2+4(t′)2=48t′2+mt′+5m2-20=0.
当Δ=80 m2-160 m2+640=640-80 m2＞0,
即＜m＜.
方程有两不等实根t1′,t2′，则弦长为
｜t1′-t2′｜=.
依题意知,
解得m=.