Question

已知向量a=(1,2),b=(cosα,sinα),设m=a+tb（t为实数），若a⊥b且a-b与m的夹角为π/4，则t=？

已知向量a=(1,2),b=(cosα,sinα),设m=a+tb（t为实数），若a⊥b且a-b与m的夹角为π/4，则t=？

Answer 1

a⊥b，则a*b＝0
|a-b|^2＝(a-b)*(a-b)＝|a|^2+|b|^2＝5+1＝6，|a-b|＝√6
|a+tb|^2＝(a+tb)*(a+tb)＝|a|^2+t^2×|b|^2＝5+t^2，|a+tb|＝√(5+t^2)
(a-b)*m＝(a-b)*(a+tb)＝|a|^2-t|b|^2＝5-t
a-b与m的夹角为π/4，则cos(π/4)＝[(a-b)*(a+tb)]/|a-b|*|a+tb|]＝(5-t)/[√6*(5+t^2)，t＝(-5±3√5)/2

Answer 2

说明:以下a,b,m均表示向量，
cosα用c表示,sinα用s表示(这样做为了方便，
谢谢理解^_^)
解:m=a+tb=(1+tc,2+ts)
a-b=(1-c,2-s)
由a⊥b得
c+2s=0
由a-b与m加角为π/4得
m×(a-b)/(lml×la-bl)=√2/2
即
[(1+tc)(1-c)+(2-s)(2+ts)/[6√(5+^2)]=√2/2
化简得
t^2+5t-5=0
所以t=(-5±3√5)/2