Question

如图，抛物线y= -x^+bx+c与x轴交于A（1,0），B（-3,0）两点，

（1）求该抛物线的解析式。
（2）设（1）中的抛物线Y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC
的周长最小？若存在，求出Q点的坐标。若不存在，请说明理由。
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值，若没有，请说明理由。
（1）求该抛物线的解析式。
（2）设（1）中的抛物线Y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC
的周长最小？若存在，求出Q点的坐标。若不存在，请说明理由。
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值，若没有，请说明理由

Answer 1

1）由题意可知y=-(x-1)(x+3)=-x²-2x+3=-(x+1)²+4
2)可知该抛物线的对称轴为x=-1;交y轴于C（0,3）
C（3,0）关于对称轴x=-1的对称点C'((-2,3),
连接AC‘与对称轴x=-1的交点就是符合题意的Q点
设AC'解析式为y=kx+b
把（1,0）（-2,3分别代入得
k+b=0
-2k+b=3
解得k=-1.b=1
即y=-x+1
当x=-1时，y=2
即Q(-1,2)
3)作BC的平行线l且与抛物线只有一个交点时，此交点就是所要就做的P点，
可设BC直线为y=ax+3
得-3a+3=0,解得a=1
即直线BC解析式为y=x+3
可设直线l解析式为y=x+d
x+d=-x²-2x+3
即x²+3x+d-3=0有两相等实根
Δ=9-4d+12=0
解得d=21/4
x²+3x+9/4=0
x1=x2=-3/2
代入y=-x²-2x+3=15/4
即P(-3/2,15/4)
S△PBC=1/2*1*3+1/2*3/2*15/4+1/2(3+15/4)3/2-1/2*4*3=27/8

Answer 2

作BC的平行线l且与抛物线只有一个交点时，此交点就是所要就做的P点