Question

一道高一数列题

已知数列an满足:对于n∈N,都有an+1=（13an-25）/（an+3）。
（1）若a1=5，求an；（2）若a1=3，求an；（3）若a1=6，求an；（4）当a1取哪些值时，无穷数列an不存在？
解出一问给20分，采纳回答最全的，粘贴的也行，要过程，采纳时还另加20分，共计100分
用特征根法或用不动点法来解的另给50分

Answer 1

解:利用不动点法,
由于:a(n+1)=（13an-25）/（an+3）
令x=(13x-25)/(x+3)
解得x1=x2=5
因为x1=x2=5
则有1/(a(n+1)-x1)=1/(an-x1)+p
在方程x=(ax+b)/(cx+d) 中：
p=2c/(a+d) =1/8
所以{1/(an-5)}为等差数列，公差为p=2c/(a+d) =1/8
（1）若a1=5，a2=(13×5-25)/(5+3)=5，同理a3=5，……猜想ak=5,当n=k+1时，a(k+1)=(13ak-25)/(ak+3)=(13×5-25)/(5+3)=5
故对n=k+1,也成立。
所以an=5
（2）若a1=3时，1/(a1-5)=-1/2
所以1/(an-5)=-1/2+1/8(n-1)=(n-5)/8
即an-5=8/(n-5)
解得an=(5n-17)/(n-5)
（3）当a1=6时，1/(a1-5)=1
所以1/(an-5)=1+1/8(n-1)=(n+7)/8
即an-5=8/(n+7)
解得an=(5n+43)/(n+7)

Answer 2

为什么要用什么特征根法或用不动点法解，杀鸡用牛刀。告诉你分母呈上去an+1*（an+3）=（13an-25）,再用方程思想

Answer 3

先求不动点，令x=(13x-25)/(x+3)
解得x1=x2=5 一下n属于N
故a(n+1)-5=（13an-25）/（an+3）-5=8(an-5)/(an+3).....(*)
(1)若a1=5,易求a2=5
猜想ak=5,当n=k+1时，a(k+1)=(13ak-25)/(ak+3)=(13*5-25)/(5+3)=5
故对n=k+1,也成立。
所以an=5
(2)令bn=1/(an-5),b1=1/(a1-5)=-1/2
(*)可化为：b(n+1)-bn=1/8
{bn}为等差数列，易求bn=b1+1/8(n-1)=1/8n-5/8
所以1/(an-5)=1/8n-5/8
求得an=(5n-17)/(n-5)
(3),当a1=6时，同理有bn=b1+1/8(n-1），此时b1=1/(a1-5)=1
所以bn=1/8n+7/8
所以1/(an-5)=1/8n+7/8
所以an=(5n+43)/(n+7)
(4)