如图,ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,PA=PD,M,N分别为PC,AB中点,求证:MN⊥平面PCD
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根据题意:只需证明mn//平面PCD的法向量n1即可
以a点为坐标系的原点AB为x轴AD为y轴
AP为z轴
假设矩形的边长ab=a ad=b
那么根据题意 ap=ad=b
设
A点为(0,0,0)
B(a,0,0)
D(0,b,0)
C(a,b,0)
P(0,0,b)
那么根据题意
M(a/2,b/2,b/2)
N(a/2,0,0)
那么向量MN=(0,-b/2,-b/2)=-b/2*(0,1,1)
PC=(a,b,-b)
PD=(0,b,-b)
那么PCD的法向量:
n1=PC×PD=(0,ab,ab)=ab(0,1,1)
很显然 MN//n1
故 MN⊥平面PCD
以a点为坐标系的原点AB为x轴AD为y轴
AP为z轴
假设矩形的边长ab=a ad=b
那么根据题意 ap=ad=b
设
A点为(0,0,0)
B(a,0,0)
D(0,b,0)
C(a,b,0)
P(0,0,b)
那么根据题意
M(a/2,b/2,b/2)
N(a/2,0,0)
那么向量MN=(0,-b/2,-b/2)=-b/2*(0,1,1)
PC=(a,b,-b)
PD=(0,b,-b)
那么PCD的法向量:
n1=PC×PD=(0,ab,ab)=ab(0,1,1)
很显然 MN//n1
故 MN⊥平面PCD
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