Question

已知数列｛Xn｝满足x1=1/2,xn+1=1/(1+xn),n∈N+,证明: |xn+1-xn|≤1/6*（2/5）^n-1 (用数学归纳法）

Answer 1

x1=1/2, x2=1/(1+1/2)=2/3
故当n=1时, lx2-x1l=1/6<=1/6.
1,先证明 1/2=<xn<=2/3
设当n=k时,1/2=<xk<=2/3
则当n=k+1时 1/2=1/(1+1)=<1/(1+2/3)=<x(k+1)=1/(1+xk)<=1/(1+1/2)=2/3
则对n=k+1也成立。
所以 1/2=<xn<=2/3
2,x(n+1)=1/(1+xn),相应得一项 xn=1/(1+x(n-1))
两式相减：x(n+1)-xn=1/(1+xn) - 1/(1+x(n-1))
=[x(n-1) - xn]/(1+xn)(1+x(n-1))
故(x(n+1) - xn)/(xn - x(n-1))= - 1/(1+xn)(1+x(n-1))>=- 1/(1+2/3)(1+2/3)=-9/25>-10/25=-2/5
所以 l(x(n+1) - xn)/(xn - x(n-1))l<=2/5.....(*)
(*)累积得lx(n+1) - xnl<=lx2-x1l*(2/5)^(n-1)=1/6 * (2/5)^(n-1)
你需要数学归纳法吧？
我将第2步改为数归。请看下面
当n=1时，显然lx2-x1l=1/6成立
设当n=k时，有lxk-x(k-1)l<=1/6 * (2/5)^(k-1)
则当n=k+1时，看（*）知 l[x(k+1)-xk]l/lxk-x(k-1)l<=2/5
根据假设（n=k时），所以 l[x(k+1)-xk]<=1/6 * (2/5)^k
故对n=k+1也成立。
所以lx(n+1) - xnl<=(2/5)^(n-1)=1/6 * (2/5)^(n-1)