Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(2，4)，直线x＝2与x轴相交于点B，连接OA．抛物线y＝x2从点O沿

OA的方向平移，与直线x＝2交于点P，顶点M到达点A时停止移动．
(1)求线段OA所在直线的解析式．
(2)设抛物线顶点M的横坐标m：
①用m的代数式表示点P的坐标；②当m为何值时，线段PB最短．
(3)当m线段PB最短时，相应抛物线上是否存在点Q，使得△AMQ的面积与△AMP的面积相等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
请各位网友帮帮忙！thank you！

Answer 1

解：（1）设OA所在直线的函数解析式为y=kx，
∵A（2，4），
∴2k=4，
∴k=2，
∴OA所在直线的函数解析式为y=2x．（2分）
（2）①∵顶点M的横坐标为m，且在线段OA上移动，
∴y=2m（0≤m≤2）
∴顶点M的坐标为（m，2m）
∴抛物线函数解析式为y=（x-m）2+2m
∴当x=2时，y=（2-m）2+2m=m2-2m+4（0≤m≤2）
∴点P的坐标是（2，m2-2m+4）．（2分）
②∵PB=m2-2m+4=（m-1）2+3，
又∵0≤m≤2，
∴当m=1时，PB最短．
此时抛物线的解析式为y=（x-1）2+2．（2分）

（3）当线段PB最短时，此时抛物线的解析式为y=（x-1）2+2，
①过P作直线L∥OA，设直线L：y=2x+h，
又P的横坐标为2，把x=2代入抛物线解析式得：y=3，
则把P的坐标（2，3）代入得：4+h=3，解得：h=-1；
∴直线L：y=2x-1，联立抛物线的解析式有：
，
解得；
此时抛物线与直线L只有一个交点为P（2，3），故此种情况不成立；
②在点A的上方截取AD=AP，即D（2，5）；
过D作直线L′∥OA，设直线L′：y=2x+h′，
则有：4+h′=5，h′=1；
∴直线L′：y=2x+1，联立抛物线的解析式有：
，
解得，；
抛物线上存在点Q1（2+，5+2），Q2（2-，5-2），使△QMA与△PMA的面积相等．（2分）

Answer 2

(1) 将(0,0)与(2,4)代入y=kx+b,得y=2x
(2)①M(m,2m),新的抛物线解析式y=(x-m)^2+2m,P(2,4-2m+m^2)
②由P点纵坐标可得,m=1时,y最小,此时PB最短
(3)存在,(2-根号2,5-2倍根号2)

追问

(3)当m线段PB最短时，相应抛物线上是否存在点Q，使得△AMQ的面积与△AMP的面积相等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
要过程

追答

根据平行线距离,先利用斜率把经过P的平行AM的解析式求出y=2x-1,由同底等高,所以两平行线距离相等,可得到另一个平行线为y=2x+1,求此直线与抛物线的交点,横坐标比较小的为所求点

追问

过程？完整的过程写出来！ 汗……