Question

如图，已知 ∠A＝60度，P、Q分别是 ∠A两边上的动点⑴当AP＝1，AQ＝3时，求PQ的长⑵AP，AQ长度之和为定值4

Answer 1

题：如图，已知角A=60度，P、Q分别是角A两边上的动点。（1）当AP=1，AQ=3时，求PQ的长（2）AP、AQ长度之和为定值4，求线段PQ最小值

解答:

1。如图，过P作PM垂直AQ于M。

在三角形APM中，AP=1，∠A=60度，∠AMP=90度，

得AM=1/2，PM=1/2*√3。

在三角形PMQ中，∠PMQ=90度，PM=1/2*√3，MQ=3-1/2=5/2，

得PQ=√7。

2。设AP=x，则有AM=1/2*x，PM=1/2*√3x，MQ=4-3/2*x，

得PQ^2=（1/2*√3*x)^2+(4-3/2*x)^2=3x^2-12x+16，

因二次项系数3>0，PQ^2有最小值，

当x=-(-12)/((2*3)=2时，PQ^2=4，

所以有当AP=AQ=2时，PQ取得最小值2。

Answer 2

由余弦余弦定理得
PQ^2=AP^2+AQ^2-2AP*AQ*osA=AP^2+AQ^2-2AP*AQ*os60°= AP^2+AQ^2-AP*AQ
(1). PQ^2=AP^2+AQ^2-AP*AQ=1^2+3^2-1*3=7,PQ=根号7
(2).(根号AP-根号AQ)^2>=0,AP+AQ>=2根号AP*根号AQ=2根号(AP*AQ),
0<AP*AQ<=[(AP+AQ)/2]^2=(4/2)^2=4,-12=<-3AP*AQ<0,
PQ^2=AP^2+AQ^2-AP*AQ=(AP+AQ)^2-3AP*AQ=16-3AP*AQ,
4=16-12=<16-3AP*AQ<16,
4=<PQ^2<16,2=<PQ<4,
当AP=AQ=2时，AP*AQ取最大值4，PQ取最小值2，
PQ的取值范围为[2,4)