Question

大哥，能帮我看看这道概率学的题目吗？

详细题目请看图，我先大致翻译下。
某公司生产金属柱子，假设柱子的长度为随即变量X，中项为Ux，概率密度函数为fx（x）。这些柱子将会被再次加工，使其长度正好为L。如果某柱子的初始长度小于L，这跟柱子将会被直接丢弃；如果某柱子长度大于L，这根柱子将会被切断成距离正好为L的柱子，其余的将会被丢弃（即使剩余部分还能被再次切割成另一L）。我们对随机变量Y感兴趣，Y被定义为是被丢弃的柱子的长度。
（a）请画出函数g，将柱子长度x映射为丢弃长度y的函数；并且将中项Uy用函数fx（x）和Ux表示。
（b）假设X为正态分布，请证明存在u0和ux，能使uy最小化。
（c）使L=2m，σx=0.02m。请问，使丢弃的材料最小化的ux的值。

万分感谢！

Answer 1

(a) g(x)=x, for x<L

      g(x)=x-L for x≥L

See the attached figure for the plot assuming L=2

E[y]=μy=∫(0,+∞)g(x)f(x)dx

          =∫(0,L)(xf(x)dx+∫(L,+∞( (x-L)f(x)dx

           =∫(0,+∞)xf(x)dx-∫(L,+∞)Lf(x)dx

           =μx-L+L∫(0,L)f(x)dx 

(b)Suppose x follows a normal distribution with mean μx and variance (σx)^2,

we want to show that there exists a value μ0 of μx that minimizes μy

μy=μx-L+L∫(0,L)f(x)dx 

for normal distribution, f(x)={1/[(2π(σx)^2)^(1/2)]}*exp{-(L-μx)^2/[2(σx)^2]

To minimize μx, we set d μy/ d μx=0=1-L f(x)  to solve for μx=μ0, so that there exists a value of μx=μ0 that minimizes μy

(c)

L=2m, σx=0.02m,

0=1-2*{1/[(2π(0.02)^2)^(1/2)]}*exp{-(2-μx)^2/[2(0.02)^2]

=1-100*exp{-(2-μx)^2/[2(0.02)^2]

value of μx that minimizes the amount of lost material is  μx=μ0=2±0.0543

Answer 2

首先，指出一点，你的翻译不是很准确，这里的MEAN,应该说是，期望，或者说均值，而不是中项。另外，第二小题也翻译错了，那是说X服从均值Ux,方差为σx的正态分布，证明确实存在一个得Uy最小的Ux值U0，而不是求两个值。为讨论X，考虑X的分布函数，Fx(x),也就是概率密度函数的积分（假设这个函数是可积的），那么，X小于L的概率是Fx(L),而X大于L的概率是1-Fx(L)。那么定义Y，如下Y=max(0,X-L),MAX是取大的意思。图我就不画了，描述一下，以X为横轴，Y为纵轴，在X轴上取原点，然后再取长度为L的点，都是实心，连在一起，然后在L的那个点开始，以45°向右上方倾斜射出到正无穷。
手边没笔，期望要拿笔算一下，暂时先这么多吧。

追问

大哥 你好人做到底 把这题帮我答了吧 感谢啊