Question

定义在R上的函数f(x)的图像关于点(-3/4，0)成中心对称，对任意的实数x都有f(x)=-f(x+3/2)

且f(-1)=1，f(0)=-2，则f(1)+f(2)+f(3)+……+f(2008)=?

Answer 1

由f(x+3/2)=-f(x)，得f(x+3)=f((x+3/2)+3/2)=-f(x+3/2)=f(x)，则有周期T＝3。
又f(x)的图像关于点(-3/4，0)成中心对称,即f(-3/4+x)=-f(-3/4-x)，令x=1/4，得f(-1/2)=f(-1)，
即f(-2+3/2)=-f(-2)=1，则有f(1+3k)=f(-2)=-1，f(2+3k)=f(-1)=1,f(3+3k)=f(0)=-2,其中k是任意整数。则原式=(2007/3)(f(1)+f(2)+f(3))+f(2008)=669*(-2)+(-1)=-1339.

追问

话说答案是1

追答

是吗，可能哪算错了，等等，我再算一次，修改后如下：

由f(x+3/2)=-f(x)，得f(x+3)=f((x+3/2)+3/2)=-f(x+3/2)=f(x)，则有周期T＝3。
又f(x)的图像关于点(-3/4，0)成中心对称,即f(-3/4+x)=-f(-3/4-x)，令x=1/4，得f(-1/2)=-f(-1)，
即f(1)=-f(-1/2+3/2)=f(-1)=1，则有f(1+3k)=f(-2)=1，f(2+3k)=f(-1)=1,f(3+3k)=f(0)=-2,其中k是任意整数。则原式=(2007/3)(f(1)+f(2)+f(3))+f(2008)=669*(1+1-2)+(1)=1。

（之前在第二行那弄成f(-1/2)=f(-1)了，f(-1)前的负号掉了，不好意思）

Answer 2

　　由f(x+3/2)=-f(x)，得f(x+3)=f((x+3/2)+3/2)=-f(x+3/2)=f(x)，则有周期T＝3。
　　又f(x)的图像关于点(-3/4，0)成中心对称,即f(-3/4+x)=-f(-3/4-x)，令x=1/4，得f(-1/2)=-f(-1)，
　　即f(1)=-f(-1/2+3/2)=f(-1)=1，则有f(1+3k)=f(-2)=1，f(2+3k)=f(-1)=1,f(3+3k)=f(0)=-2,其中k为任意整数。则原式=(2007/3)(f(1)+f(2)+f(3))+f(2008)=669×(1+1-2)+(1)=1