Question

一道初三几何证明题，有难度。

已知角ABC=60°，以线段AB为底边在线段AB的右侧作底角为A的等腰三角形ABE，点P为射线BC上任意一点【点P与B不重合】，以AP为底边在线段AP的右侧作底角为A的等腰三角形APQ，连结QE并延长交BC于F。
当角A为大于0度，小于60度时，猜想角QFC为几度。

Answer 1

解：利用三角相等 可知 △ABE ∽ △APQ
所以有 AQ/AE=AP/AB
所以 AQ/AP=AE/AB （1）
又 ∠BAE=∠PAQ ∠BAE +∠PAE =∠PAQ +∠PAE 即 ∠BAP=∠EAQ （2）
在 △ABP与△AEQ 中 应用 两边夹一角定理 [见 （1）、（2）式子]，
可知 △ABP ∽ △AEQ
因此有 ∠ABP=∠AEQ=60
∠QFC=∠FBE+∠BEF
∠FBE=60-∠A
∠BEF=180-60-∠AEB=120-(180-2∠A)=2∠A-60
∠QFC=∠FBE+∠BEF=60-∠A+2∠A-60=∠A

因此 ∠QFC的度数应该与∠A 相等

Answer 2

由于△ABE和△APQ是底角相等的等腰三角形
∴△ABE∽△APQ
∴AB/AP＝AE/AQ
∴AB/AE＝AP/AQ
∵∠BAE＝∠PAQ
∴∠BAP＝∠EAQ
∴△ABP∽△AEQ
∴∠APB＝∠AQE
设AP、QF相交于点O
∵∠AOQ＝∠FOP
∴△AOQ∽△FOP
∴∠QFC＝∠OAQ＝∠A