Question

已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG． （1）求

已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）求证：EG=CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？
一定要证明第三个问！！前两个问可不证明。

Answer 1

解：（1）证明：在Rt△FCD中，

∵G为DF的中点，

∴ CG= FD．

同理，在Rt△DEF中，

EG= FD．

∴ CG=EG．

（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．

证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．

在△DAG与△DCG中，

∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，

∴ △DAG≌△DCG．

∴ AG=CG．

在△DMG与△FNG中，

∵ ∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，

∴ △DMG≌△FNG．

∴ MG=NG

在矩形AENM中，AM=EN．

在Rt△AMG 与Rt△ENG中，

∵ AM=EN， MG=NG，

∴ △AMG≌△ENG．

∴ AG=EG．

∴ EG=CG．

证法二：延长CG至M,使MG=CG，

连接MF，ME，EC

在△DCG 与△FMG中，

∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，

∴△DCG ≌△FMG．

∴MF=CD，∠FMG＝∠DCG．

∴MF‖CD‖AB

∴ ．

在Rt△MFE 与Rt△CBE中，

∵ MF=CB，EF=BE，

∴△MFE ≌△CBE．

∴ ．

∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°．

∴ △MEC为直角三角形．

∵ MG = CG，

∴ EG= MC．

∴ ．

（3）（1）中的结论仍然成立，

即EG=CG．其他的结论还有:EG⊥CG．

追问

(3)过程。

追答

：（3）过F做CD的平行线并延长CG交与M点，连EM，过F作FN垂直于AB于N，由于G为FD中点，CD=FM OC=FM，BE=EF，∠EFM=∠EBC，则∴△EFM≌△EBC。∠FEC+∠BEC=90°，则∠FEC+∠FEM=90°，即∠MEC=90°，G为CM中点，有EG=CG

Answer 2

延长CG至M，使MG=CG， 连接MF，ME，EC， 在△DCG与△FMG中， ∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG， ∴△DCG≌△FMG． ∴MF=CD，∠FMG=∠DCG， ∴MF∥CD∥AB， ∴EF⊥MF． 在Rt△MFE与Rt△CBE中， ∵MF=CB，EF=BE， ∴△MFE≌△CBE ∴∠MEF=∠CEB． ∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°， ∴△MEC为直角三角形． ∵MG=CG， ∴EG= 1 2 MC， ∴EG=CG． 

（3）（1）中的结论仍然成立，

即EG=CG．其他的结论还有:EG⊥CG．

过F做CD的平行线并延长CG交与M点，连EM，过F作FN垂直于AB于N，由于G为FD中点，CD=FM OC=FM，BE=EF，∠EFM=∠EBC，则∴△EFM≌△EBC。∠FEC+∠BEC=90°，则∠FEC+∠FEM=90°，即∠MEC=90°，G为CM中点，有EG=CG

祝学习进步

Answer 3

（1）证明：在Rt△FCD中， ∵G为DF的中点， ∴CG= 1 2 FD， 同理，在Rt△DEF中， EG= 1 2 FD， ∴CG=EG．  （2）解：（1）中结论仍然成立，即EG=CG． 证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点． 在△DAG与△DCG中， ∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG， ∴△DAG≌△DCG， ∴AG=CG； 在△DMG与△FNG中， ∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG， ∴△DMG≌△FNG， ∴MG=NG； 在矩形AENM中，AM=EN， 在△AMG与△ENG中， ∵AM=EN，∠AMG=∠ENG，MG=NG， ∴△AMG≌△ENG， ∴AG=EG， ∴EG=CG． 证法二：延长CG至M，使MG=CG， 连接MF，ME，EC， 在△DCG与△FMG中， ∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG， ∴△DCG≌△FMG． ∴MF=CD，∠FMG=∠DCG， ∴MF∥CD∥AB， ∴EF⊥MF． 在Rt△MFE与Rt△CBE中， ∵MF=CB，EF=BE， ∴△MFE≌△CBE ∴∠MEF=∠CEB． ∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°， ∴△MEC为直角三角形． ∵MG=CG， ∴EG= 1 2 MC， ∴EG=CG．  （3）解：（1）中的结论仍然成立． 即EG=CG．其他的结论还有：EG⊥CG．

Answer 4

（3）解：（1）中的结论仍然成立．理由如下：过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN垂直于AB于N．由于G为FD中点，易证△CDG≌△MFG，得到CD=FM，又因为BE=EF，易证∠EFM=∠EBC，则△EFM≌△EBC，∠FEM=∠BEC，EM=EC∵∠FEC+∠BEC=90°，∴∠FEC+∠FEM=90°，即∠MEC=90°，∴△MEC是等腰直角三角形，∵G为CM中点，∴EG=CG，EG⊥CG．

Answer 5

（1）证明：在Rt△FCD中，
∵G为DF的中点，
∴CG=1/2FD，
同理，在Rt△DEF中，
EG=1/2FD，
∴CG=EG．

（2）解：（1）中结论仍然成立，即EG=CG．
证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．
在△DAG与△DCG中，
∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，
∴△DAG≌△DCG，
∴AG=CG；
在△DMG与△FNG中，
∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，
∴△DMG≌△FNG，
∴MG=NG；
在矩形AENM中，AM=EN，
在△AMG与△ENG中，
∵AM=EN，∠AMG=∠ENG，MG=NG，
∴△AMG≌△ENG，
∴AG=EG，
∴EG=CG．
证法二：延长CG至M，使MG=CG，
连接MF，ME，EC，
在△DCG与△FMG中，
∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，
∴△DCG≌△FMG．
∴MF=CD，∠FMG=∠DCG，
∴MF∥CD∥AB，
∴EF⊥MF．
在Rt△MFE与Rt△CBE中，
∵MF=CB，EF=BE，
∴△MFE≌△CBE
∴∠MEF=∠CEB．
∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，
∴△MEC为直角三角形．
∵MG=CG，
∴EG=1/2MC ，
∴EG=CG．

（3）解：（1）中的结论仍然成立．理由如下：
过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN垂直于AB于N．
由于G为FD中点，易证△CDG≌△MFG，得到CD=FM，
又因为BE=EF，易证∠EFM=∠EBC，则△EFM≌△EBC，∠FEM=∠BEC，EM=EC
∵∠FEC+∠BEC=90°，∴∠FEC+∠FEM=90°，即∠MEC=90°，
∴△MEC是等腰直角三角形，
∵G为CM中点，
∴EG=CG，EG⊥CG．