Question

直线y=x上有一点P，它与俩定点A（4，-1），B（3，4）的距离之差最大，则P点的坐标是（ ）。

最好把步骤谢详细一些，并且我不太理解他与俩定点A、B的距离差最，还有怎么最大，给我讲解一下，谢谢各位了！！！

Answer 1

解：首先，设点B关于直线y=x的对称点为B'，则B'坐标为（4,3），（求B'坐标可以这样求：设B'（a，b），利用直线将线段AB'垂直平分列出方程组求出a和b，（b-3)/(a-4)=-1,(b+3)/2=(a+4)/2).
其二，由平面几何知识显然可知|PB|=|PB'|，此时点A和B'都在直线y=x的下方，
由于在三角形中两边之差小于第三边，三边共线时两边之差的绝对值等于第三边，
故有|PA|-|PB|=|PA|-|PB'|≤|（|PA|-|PB'|）|≤|AB|，当且仅当PA、PB'共线时取等号。
所以点P与定点A（4，-1）、B（3，4）的距离之差最大时，
点P的位置必然是直线y=x与直线AB'的交点。
其三，求点P的坐标。
由点A、B'横坐标都是4，显然的直线AB'的方程为x=4，将其代入已知直线方程y=x，
得y=4，
因此点P的坐标为（4,4）.

Answer 2

在三角形PAB中，两边之差小于第三边(一直线时取等号)，即距离之差小于等于AB，所以最大值是AB=√26，最大值时的点P的位置就是直线AB与已知直线的交点。

Answer 3

在三角形PAB中，两边之差小于第三边(一直线时取等号)，即距离之差小于等于AB
设直线AB的方程为：y=kx+b
4=3k+b
-1=4k+b
k=-5 b=19
AB的方程为：y=-5x+19
与y=x 的交点为
x=-5x+19
x=19/6
y=19/6
P(19/6.19/6)