Question

设n阶实方阵A=A^2，E为n阶单位矩阵，证明：R(A)+R(A-E)=n

Answer 1

因为 A=A^2 所以 A(A-E) = 0 所以 r(A) + r(A-E) ≤ n. 参:

又 n = r(E) = r(A + E -A) ≤ r(A) + r(E-A) = r(A) + r(A-E) 参:

所以 r(A) + r(A-E) = n. 满意请采纳^_^

Answer 2

因为A*A=A，所以A(A-E)=0;故A-E的每个列向量都是方程
Ax=0的解，由于A-E中的列向量未必构成解空间的基，所以R(A)+R(A-E)小于等于n；
又由R(A)+R(B)>=R(A+B)；立刻可得R(A)+R(A-E)=R(A)+R(E-A)>=R(A+E-A)=R(E)=n;所以R(A)+R(A-E)=n.