Question

设函数f(x)=1/xlnx(x>0且x≠1)

1:求函数f(x)的单调区间
2:已知2^1/2>x^a对任意x∈(0,1)成立,求实数a的取值范围.
(我导数这一块不是很懂,能否详细易懂的给讲解下?谢谢!)

Answer 1

1.可利用求导来求函数的单调区间
f'(x)=-1/(xlnx)^2*(lnx+1)=-(lnx+1)/(xlnx)^2

f'(x)=0
1+lnx=0
lnx=-1
x=1/e
当x<1/e时，f'(x)>0,函数为增函数
当x>1/e时，f'(x)<0,函数为减函数
2.可两边同时取对数
两边同取对数 ln2/x>alnx对x∈(0,1)成立 即1/xlnx<a/ln2对x∈(0,1)成立
令f(x)=1/xlnx f'(x)=-1/x^2lnx -1/x^2(lnx)^2 令f'(x)=0 x=1/e
所以列表略 f(x)先增后减 在(0,1)上有最大值-e 所以-e<a/ln2
a>-eln2