Question

不定积分∫ln(1+x^2)dx 过程

原式＝xln(1+x^2)-∫xd[ln(1+x^2)] 这些步骤怎么变的xln(1+x^2)怎么就到∫外了那个x怎么来的希望能讲一下原理课本上一步就到了看不懂怎么回事
=xln(1+x^2)-∫2x^2/(1+x^2)dx
=xln(1+x^2)-2∫[1-1/(1+x^2)dx
=xln(1+x^2)-2x+2acrtgx+C

Answer 1

用分部积分法，
(uv)'=u'v+uv',
设u=ln(1+x^2),v'=1,
u'=2x/(1+x^2),v=x,
原式=xln(1+x^2)-2∫x^2dx/(1+x^2)
=xln(1+x^2)-2∫(1+x^2-1)dx(1+x^2)
=xln(1+x^2)-2∫dx+2∫dx/(1+x^2)
=xln(1+x^2)-2x+2arctanx+C.

追问

用分部积分法，
(uv)'=u'v+uv',
设u=ln(1+x^2),v'=1,
u'=2x/(1+x^2),v=x,
和这一步原式=xln(1+x^2)-2∫x^2dx/(1+x^2)有什么联系吗恕我愚昧没看懂
我明白了两边同时积分对否

追答

积分结果=uv-∫u'vdx,uv=xln(1+x^2),∫u'vdx=∫2x*xdx/(1+x^2),再把分子中x^2配一个+1，约掉分母。

Answer 2

分部积分

Answer 3

关键是把dx换成d(1+x的平方)。因为dx=1/2(1+x的平方)。然后就是一个基本的问题了。

追问

dx换成d(1+x的平方) 我会那个基本的问题是啥了能说详细吗

Answer 4

这一步是分部积分法
对于不定积分 有恒等式 ∫f(x)dg(x)=f(x)g(x)-∫g(x)df(x)

追问

原来如此任何情况都适用吗