Question

初三数学复习题

如图， ΔABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN‖BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F。
（1）探究线段OE与OF的数量关系并加以证明。
（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCEF可以是菱形吗？若可以，请证明;若不可以，请说明理由。
（3）当点O运动到何处，且ΔABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？

Answer 1

（1）OE=OF
由于CE和CF都是角平分线，所以∠ECF=90，又由于MN‖BC，所以∠FEC=∠ECB=ECA，OE=OC，同理∠EFC=∠FCA,故OC=OF
所以OE=OF

(2)不可能
由于EF=OF+OF=OF+OC
在三角形OFC中，两边之和大于第三边，OF+OC>FC，所以四边形BCFE的邻边EF和FC不可能等长，所以不可能是菱形

(3)O要为AC中点，且三角形ABC要满足是C为直角的直角三角形
正方形要求EC=CF，所以直角三角形EFC必须是等腰三角形。也就是∠EFC=45,，这要求AC要垂直于BC，这是能保证四边形AECF对角线EF与AC垂直，且EF被AC平分，邻边相等且垂直，这时候只要要求AO=OC即可满足正方形的要求，所以O要为AC的中点