Question

因式分解数学题 已知a²+b²=c²+d²=1 ，且ac＋bd=0 求ab＋cd的的值

已知a²+b²=c²+d²=1 ，且ac＋bd=0 求ab＋cd的的值

Answer 1

【1】
∵a ²+b ²=1,且c ²+d ²=1.
∴a ²+b ²=c ²+d ²
∴a ²-d²=c²-b ².
∴(a ²-d ²)(b ²-c ²)=-(a ²-d ²)(a ²-d ²)=-(a ²-d ²)²≤0.
【2】
∵ac+bd=0. ∴两边平方可得：a ²c ²+2abcd+b ²d ²=0
∴2abcd=-a ²c ²-b ²d ²
可设x=ab+cd.两边平方可得：
x ²=a ²b ²+2abcd+c ²d ²
=a ²b ²-a ²c ²-b ²d ²+c ²d ²
=a ²(b ²-c ²)-d ²(b ²-c ²)
=(a ²-d ²)(b ²-c ²)
=-(a ²-d ²)².
即x ²=-(a ²-d ²)²≤0.又x ²≥0.
∴x=0.即ab+cd=0.

Answer 2

换元即可。
设a=sinα，b=cosα，c=sinβ，d=cosβ.
由ac+bd=0可得sinαsinβ+cosαcosβ=0，即cos(α-β）=0，所以α=π/2+β.
所以2α=π+2β.则sin(2α)=-sin(2β).
所以sin(2α)+sin(2β)=0.
则ab+cd=sinαcosα+sinβcosβ=（1/2）·sin(2α)+(1/2)·sin(2β)=0.
（注：看见平方和为零一般都用换元换成三角函数计算）

ab+cd=0

Answer 3

楼主方法很好！
值得学习！

Answer 4

1=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac)^2+(bd)^2+(ad)^2+(bc)^2=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2=(ad-bc)^2
ad=bc ,
又ac=-bd
两式相乘得(a^2+b^2)cd=0
所以cd=0
不妨设c=0, 则d=+/-1, ac+bd=0, bd=0,b=0, a=+/-1
所以有ab+cd=0