Question

已知a,b,c为正整数,方程ax^2+bx+c=0的两实根为x1,x2(x1≠x2)且|x1|<1,|x2|<1, 求a+b+c的最小值

如何分析得出c的最小值为1，a的最小值为5 ！

Answer 1

ax^2+bx+c=0有两实根x1、x2,且|x1|<1,|x2|<1
则-1<x1<1,-1<x2<1
(x1+1)(x2+1)>0
x1+x2+2>0
(x1-1)(x2-1)>0
x1+x2-2<0
△=b^2-4ac>=0
由韦达定理x1+x2=-b/a,x1x2=c/a代入整理得
a+c>b
2a>b
b^2>4ac
由于4a^2>b^2>4ac,所以a>c
b^2>4ac>2bc,所以b>2c,所以c最小
不妨设c=1,则a+1>b,所以a>=b
b^2>4a>=4b,b>4,所以b=5,所以取a=5
验证a=b=5,c=1满足上面不等式，所以a+b+c最小值为11

Answer 2

解： 设A（x1，0），B（x2，0）为此抛物线ax^2+bx+c的两根。

则：x1x2=c/a > 0 ; x1+x2=-b/a < 0

因为b^2-4ac>0,故b>2根号ac 此为 ① 式

因为OA、OB<1 , 故 -1<x1<0 , -1<x2<0 (建议画草图自己看一看会更清楚的明白）

故x1x2=c/a<1,故a>c 此为 ② 式

因为 a为正整数 ，故抛物线开口向上。 因为A、B到原点的距离都小于1，故x=-1时，y>0

故a-b+c>0,故a+c>b。

因为a、b、c为整数，故a+c>b+1

由①式得：a+c>2根号ac+1 等价于 （根号a-根号c）>1

接着 由②式得： 根号a>根号c+1

即 a>(根号c+1)^2>(1+1)^2>4

故 a ≥ 5

因为 b>2根号>2根号（5+1）>4

b ≥5

取a=5,b=5,c=1代入，满足题设。

故 a+b+c的最小值为 11