Question

已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1,F2

，P为双曲线右支上的任意一点，若|PF1|^2/|PF2|的最小值为8a，则双曲线离心率的取值范围是？

Answer 1

由定义知：|PF1|-|PF2|=2a，
|PF1|=2a+|PF2|
|PF1|^2/|PF2|=(2a+|PF2|)^2/|PF2|=4a^2/|PF2|+4a+|PF2|大于等于8a
当且仅当4a^2/|PF2|=|PF2|
即|PF2|=2a时取得等号
设P（x0，y0） （x0≤-a）
由焦半径公式得：
|PF2|=-ex0-a=2a
ex0=-2a
e=-3a/x0≤3
又双曲线的离心率e＞1
∴e∈（1，3]
纯手打的啊 不容易啊 采纳吧。

Answer 2

PF1+PF2=2a
即y=PF1+PF12/8a≥2a,设双曲线的左顶点为A(-a,0),右顶点B(a,0)
易得:PF1=AF1=c-a时,y有最小值
∵对y,y取最小值时为PF1=-4a
∴PF1=AF1=c-a时存在;PF1+PF12/8a>2a
即:c-a+(c-a)2/8a>2a
解出即可
仅供参考