1大还是0.99999......大？
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我举一个例子来帮助你理解这个问题：假设有两杯饮料，对第一杯饮料，第一天喝掉90%，第二天喝掉剩下饮料中的90%，第三天再喝掉剩下饮料中的90%，以后的每一天都喝掉前一天剩下饮料中的90%，像这样一直喝下去，就算到了太阳熄灭的那一天，还是剩下一点饮料没有喝完（这里假设饮料仍然可分）；对第二杯饮料，用10分钟喝完90%，然后用1分钟喝完剩下饮料中的90%，再用0.1分钟喝完剩下饮料中的90%，一直喝下去，也就是用10分钟喝完0.9杯，用11分钟喝完0.99杯，用11.1分钟喝完0.999杯，……，可以得出，喝完0.999999……杯饮料需要11.111111……分钟，于是我们就发现，在经过11+1/9分钟也就是十一又九分之一分钟后，饮料被喝完了，呵呵……（喝第二杯饮料的过程是一个匀速的过程，平均速度就是0.09杯/分钟，这样我们就不必关心分多少口喝完这杯饮料，确定了喝饮料的速度以后，喝完饮料所需要的时间也就定下来了）。
下面来分析喝第一杯饮料的过程：这个过程，很容易给人0.999999……小于1的感觉，因为不管喝到哪一天，仍然有一点饮料没喝完。可以确定的是，按这种喝法，永远也没有饮料被喝完的那一天，因为在喝饮料的任何一天，它的天数N都是一个有限的数，到那一天，喝完的饮料为0.999……999杯，而不是0.999999……杯，0.999……999必然是小于1的。喝完饮料所需要的天数是无穷大，而无穷大的特点是无穷大减任何数还等于无穷大，也就是说不管喝了多少天，喝完它的目标都没有任何的进展，就算到了太阳熄灭的那一天，喝完剩下的饮料所需要的天数还是无穷大。认为1大于0.999999……的人大多认为1和0.999999……之间相差一个无穷小，可是无穷小是什么呢？无穷小是一个变量，是无限趋近于0的过程，对无穷小来说，N可以等于一百、一千、一万、一亿……（要求N的值越来越大），相对于每次的N，无穷小的值越来越小，越来越接近0。但是0.999999……是什么？它是有理数，是一个常数，在数轴上有唯一的点与它相对应。0.999999……和1都是常数，两个常数的差必然是一个常数，而不可能是一个变量；所以，1-0.999999……不可能等于无穷小。那么，0.999999……和无穷小到底是什么关系呢？无穷小是描述0.999……999（注意不是0.999999……）无限趋近于1的过程，而0.999999……并不在这一过程之中，它是这个过程的终点，回到前面的例子中，也就是喝完0.999999……杯饮料并不存在于喝饮料的任何一天之中，那么它在哪里呢？我们再来看第二杯饮料。在它被喝完之前，都是属于无限趋近的过程，也就是用11.1……111分钟喝完了0.999……999杯，小数点后9的个数N都是一个有限的数，离喝完的目标还差一个0.000……001。而0.999999……小数点后有无限多的9，也就是9的个数N等于无穷大，注意，是等于无穷大，而不是趋近于无穷大。在N等于无穷大的情况下，离喝完饮料的距离自然就等于0。再重复一遍，0.999999……不属于喝饮料的过程，它只属于喝完饮料的那一瞬间，对应的时间就是11.111111……分钟。
如果你学过曲线，我就用曲线的方法来为你描述一下，如果你没学过，可以略过这个部分。在坐标轴上，以小数点后9的个数为X轴，以0.999……999的值为Y轴，画一条曲线，可以看出来这条曲线沿X轴正方向运动时Y值逐渐趋近于1。有人会说：“看，这条曲线虽然趋近于1，但是它始终在1的下面，永远也不能达到1，所以0.999999……也小于1”。但是，问题就在于0.999999……并不在这条曲线上，因为你所能看到的这条曲线上的任何一点，都能读出X轴和Y轴的值，既然能读出值，那么X就是个有限的数，也就是说它并不能代表0.999999……。而0.999999……就是这条曲线的渐近线，也就是Y=1。对应于前面的例子，喝第一杯饮料的过程就相当于沿X轴前进，喝第二杯饮料的过程就相当于沿Y轴前进。
之前所说的只是为了帮你理解，而不是证明过程。网络上证明0.999999……=1的方法有很多，这里不再一一列举。就用反证法来证明如下：假设1>0.999999……，不等式两边除以3，得到1/3>0.333333……，这与1/3=0.333333……相矛盾，所以假设不成立。这两个0.333333……无论是形式还是内容都是完全相同的，如果有人一定要说他们不一样，我也没有什么好说的了。
需要说明的是，就像1+1不一定等于2一样，0.999999……=1也有其适用范围，至于这个范围，我没有研究过，就不乱说了。
下面来分析喝第一杯饮料的过程：这个过程，很容易给人0.999999……小于1的感觉，因为不管喝到哪一天，仍然有一点饮料没喝完。可以确定的是，按这种喝法，永远也没有饮料被喝完的那一天，因为在喝饮料的任何一天，它的天数N都是一个有限的数，到那一天，喝完的饮料为0.999……999杯，而不是0.999999……杯，0.999……999必然是小于1的。喝完饮料所需要的天数是无穷大，而无穷大的特点是无穷大减任何数还等于无穷大，也就是说不管喝了多少天，喝完它的目标都没有任何的进展，就算到了太阳熄灭的那一天，喝完剩下的饮料所需要的天数还是无穷大。认为1大于0.999999……的人大多认为1和0.999999……之间相差一个无穷小，可是无穷小是什么呢？无穷小是一个变量，是无限趋近于0的过程，对无穷小来说，N可以等于一百、一千、一万、一亿……（要求N的值越来越大），相对于每次的N，无穷小的值越来越小，越来越接近0。但是0.999999……是什么？它是有理数，是一个常数，在数轴上有唯一的点与它相对应。0.999999……和1都是常数，两个常数的差必然是一个常数，而不可能是一个变量；所以，1-0.999999……不可能等于无穷小。那么，0.999999……和无穷小到底是什么关系呢？无穷小是描述0.999……999（注意不是0.999999……）无限趋近于1的过程，而0.999999……并不在这一过程之中，它是这个过程的终点，回到前面的例子中，也就是喝完0.999999……杯饮料并不存在于喝饮料的任何一天之中，那么它在哪里呢？我们再来看第二杯饮料。在它被喝完之前，都是属于无限趋近的过程，也就是用11.1……111分钟喝完了0.999……999杯，小数点后9的个数N都是一个有限的数，离喝完的目标还差一个0.000……001。而0.999999……小数点后有无限多的9，也就是9的个数N等于无穷大，注意，是等于无穷大，而不是趋近于无穷大。在N等于无穷大的情况下，离喝完饮料的距离自然就等于0。再重复一遍，0.999999……不属于喝饮料的过程，它只属于喝完饮料的那一瞬间，对应的时间就是11.111111……分钟。
如果你学过曲线，我就用曲线的方法来为你描述一下，如果你没学过，可以略过这个部分。在坐标轴上，以小数点后9的个数为X轴，以0.999……999的值为Y轴，画一条曲线，可以看出来这条曲线沿X轴正方向运动时Y值逐渐趋近于1。有人会说：“看，这条曲线虽然趋近于1，但是它始终在1的下面，永远也不能达到1，所以0.999999……也小于1”。但是，问题就在于0.999999……并不在这条曲线上，因为你所能看到的这条曲线上的任何一点，都能读出X轴和Y轴的值，既然能读出值，那么X就是个有限的数，也就是说它并不能代表0.999999……。而0.999999……就是这条曲线的渐近线，也就是Y=1。对应于前面的例子，喝第一杯饮料的过程就相当于沿X轴前进，喝第二杯饮料的过程就相当于沿Y轴前进。
之前所说的只是为了帮你理解，而不是证明过程。网络上证明0.999999……=1的方法有很多，这里不再一一列举。就用反证法来证明如下：假设1>0.999999……，不等式两边除以3，得到1/3>0.333333……，这与1/3=0.333333……相矛盾，所以假设不成立。这两个0.333333……无论是形式还是内容都是完全相同的，如果有人一定要说他们不一样，我也没有什么好说的了。
需要说明的是，就像1+1不一定等于2一样，0.999999……=1也有其适用范围，至于这个范围，我没有研究过，就不乱说了。
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