Question

一道高一数学题，很急，拜托各位帮忙想想吧

已知三边长两两不相等的三角形ABC,角A,B,C的对边分别为a,b,c，
若A+C=2B，求证a+c<2b

Answer 1

A+C=2B=180-B
B=60
A+C=120
COSB=1/2=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)
a^2+c^2-ac=b^2
(a+c)^2=b^2+3ac<=b^2+3(a+c)^2/4
(a+c)^2/4<=b^2
a+c<=2b

追问

(a+c)^2=b^2+3ac<=b^2+3(a+c)^2/4
是什么意思啊，麻烦讲下啊

追答

应用公式：4ac<=(a+c)^2

Answer 2

A+B+C=180°，A+C=2B
得B=60°
由余弦定理：
b^2=a^2+c^2-2accosB=a^2+c^2-2accos60°
=a^2+c^2-ac
要证a+c<2b
可以先证(2b)^2-(a+c)^2>0
而(2b)^2-(a+c)^2=4b^2-(a+c)^2=4(a^2+c^2-ac)-(a^2+c^2+2ac)
=3a^2+3c^2-6ac=3(a-c)^2
由于三边长两两不相等，所以(a-c)^2>0
即(2b)^2-(a+c)^2>0
所以不等式成立

Answer 3

虽然我已经不学数学了，但是我记得有个定理是“大角对大边，小角队小边”

追问

跟这题有什么关系啊？

追答

就是用这个原理呀，你又没有学过正弦定理和余弦定理？

追问

学过

追答

问一下，你记得sin180和cos180等于多少吗？