Question

证明lim[f（x）+g（x）]=limf（x）+limg（x）

Answer 1

这个高数书上有啊，同济5版得第43页。
需要条件：limf(x)，limg(x)都存在。
设 limf(x)=A，limg(x)=B, 则对任ε＞0,
(1)存在δ1＞0，使得当0＜|x-x0|＜δ1时，有|f(x)-A|＜ε/2,
(2)存在δ2＞0，使得当0＜|x-x0|＜δ2时，有|g(x)-B|＜ε/2,
(3)取δ=min(δ1,δ2)＞0，当0＜|x-x0|＜δ时，
同时有|f(x)-A|＜ε/2和|g(x)-B|＜ε/2，于是
|[f(x)+g(x)]-(A+B)|=|[f(x)-A]+[g(x)-B]|
≤|f(x)-A|+|g(x)-B|＜ε/2+ε/2=ε,
则lim[f(x)+g(x)]=A+B=limf(x)+limg(x) 。

追问

。。。。。
大哥，小弟是初学者啊。。。。
能不能通俗易懂地解释一下？
书上写的太缥缈了。。。。。

追答

你只要能理解极限的定义就懂了。这些证明就是用定义推导的

Answer 2

证： 令limf(x)=A limg(x)=B 所以f(x)=A+@ g(x)=B+@ , @为无穷小
lim[f(x)+g(x)]=lim[A+@+B+@]=A+B
而limf(x)+ limg(x)=A+B
lim[f（x）+g（x）]=limf（x）+limg（x）
得证

追问

为什么“令limf(x)=A limg(x)=B 所以f(x)=A+@ g(x)=B+@ , ”
f(x)=A+@ g(x)=B+@ 怎么得出的？

追答

limf(x)极限存在 那么 limf(x)那就等于一个定值 那我们就假如这个值为A A 属于实数
那么 A加上个无穷小@ 就是A+@就是无穷接近于A 那么f(x)=A+@ 则 limf(x)=lim[A+@]=A就跟
这个思路就对了 好好理解下极限的定义 所以才有令limf(x)=A limg(x)=B 所以f(x)=A+@ g(x)=B+@