Question

几何超难题!

设P是五边形ABCDE外接圆上任一点，求证:P至五边形ABCDE各对角线的距离之积等于P至各边的距离之积。

Answer 1

证明：设P点至五边形边AB，BC，CD，DE，EA的距离分别为h1，h2，h3，h4，h5；
P点至五边形各对角线AC，AD，BD，BE，CE的距离分别为m1，m2，m3，m4，m5。
令R为五边形ABCDE外接圆的半径。
根据简单几何定理：三角形两边之积等于第三边上的高与外接圆直径之积。
在ΔPAB中，得：
PA*PB=2R*h1……(1-1)
同理可得：
PB*PC=2R*h2……(1-2)
PC*PD=2R*h3……(1-3)
PD*PE=2R*h4……(1-4)
PE*PA=2R*h5……(1-5)
在ΔPAC中，得：
PA*PC=2R*m1……(2-1)
同理可得：
PA*PD=2R*m2……(2-2)
PB*PD=2R*m3……(2-3)
PB*PE=2R*m4……(2-4)
PC*PE=2R*m5……(2-5)
(1-1)*(1-2)*(1-3)*(1-4)*(1-5)得：
h1*h2*h3*h4*h5=(PA*PB*PC*PD*PE)^2/(2R)^5 (3)
(1-1)*(1-2)*(1-3)*(1-4)*(1-5)得：
m1*m2*m3*m4*m5=(PA*PB*PC*PD*PE)^2/(2R)^5 (4)
所以则有：h1*h2*h3*h4*h5=m1*m2*m3*m4*m5。
证明完毕！

备注： 实际上我们有更一般结论：
定理：圆内接n边形(n≥4) 外接圆上任一点至各条对角线的距离之积的2/(n-3) 次方等于该点至各边的距离之积。
定理证明与上述证明方法相同，关键要注意量纲，n边形有n条边和n(n-3)/2条对角线。

Answer 2

设P点至五边形边AB，BC，CD，DE，EA的距离分别为h1，h2，h3，h4，h5；
P点至五边形各对角线AC，AD，BD，BE，CE的距离分别为m1，m2，m3，m4，m5。
令R为五边形ABCDE外接圆的半径。
根据简单几何定理：三角形两边之积等于第三边上的高与外接圆直径之积。
在ΔPAB中，得：
PA*PB=2R*h1……(1-1)
同理可得：
PB*PC=2R*h2……(1-2)
PC*PD=2R*h3……(1-3)
PD*PE=2R*h4……(1-4)
PE*PA=2R*h5……(1-5)
在ΔPAC中，得：
PA*PC=2R*m1……(2-1)
同理可得：
PA*PD=2R*m2……(2-2)
PB*PD=2R*m3……(2-3)
PB*PE=2R*m4……(2-4)
PC*PE=2R*m5……(2-5)
(1-1)*(1-2)*(1-3)*(1-4)*(1-5)得：
h1*h2*h3*h4*h5=(PA*PB*PC*PD*PE)^2/(2R)^5 (3)
(1-1)*(1-2)*(1-3)*(1-4)*(1-5)得：
m1*m2*m3*m4*m5=(PA*PB*PC*PD*PE)^2/(2R)^5 (4)
所以则有：h1*h2*h3*h4*h5=m1*m2*m3*m4*m5。
证明完毕！

一般结论：
定理：圆内接n边形(n≥4) 外接圆上任一点至各条对角线的距离之积的2/(n-3) 次方等于该点至各边的距离之积。
定理证明与上述证明方法相同，关键要注意量纲，n边形有n条边和n(n-3)/2条对角线。