Question

高中数学：求定积分，区间0~1。被积函数根号下（2x-x^2）。额，积分，根号都不会打、、那个原函数怎么求？

Answer 1

求定积分 （0，1)∫[√(2x-x²)]dx
解：原式=.(0，1)∫[√(2x-x²)]dx=(0，1)∫√[1-(x-1)²]d(x-1)
令x-1=sinu，则d(x-1)=cosudu，0≤x≤1时，-1≤x-1≤0，-π/2≤u≤0
于是原式=(-π/2，0)∫[√(1-sin²u)]cosudu=(-π/2，0)∫cos²udu
=(-π/2，0)∫[(1+cos2u)/2]du=(-π/2，0)(1/2)[∫du+(1/2)∫cos2ud(2u)]
=(-π/2，0)(1/2)[u+(1/2)sin2u]=(u/2+(1/4)sin2u)│(-π/2，0)=π/4

Answer 2

这个换元法吧。分部积分反而不太好……
∫(2x-x^2)^1/2dx
=∫(1-(x-1)^2)^1/2d(x-1)
令x-1=cosy，则：
=∫siny d（cosy）
=∫（siny）^2dy
=1/2(y-sinycosy)
x-1∈[-1,0],y∈[π/2,π]
代入之后得到：
1/2[(π-π/2)]-1/2[sinπcosπ-sin(π/2)cos(π/2)]
=π/4

Answer 3

y=√(2x-x^2) 等号两边同时平方得到x^2-2x+y^2=0 配方得到（x-1)^2+y^2=1 区间0到1求的定积分其实就是以圆心（1，0）半径1为圆的圆面积的四分之一，也就是π/4。

Answer 4

用分部积分啊

Answer 5

2x→x^2
x^2→（x^3）/3

追问

根号下啊！！哥哥唉。。。