Question

高一数学正余弦定理问题

△ABC中 角A B C 对边分别为a b c ，tanC=3根号7
（1）求cosC (2)若向量→ →
CB乘CA =2.5 且a+b=9 求c

Answer 1

（1）tanC的平方=（1-cosC的平方）/cosC的平方
即 63=（1-cosC的平方）/cosC的平方
解得 cosC的平方=1/64，cosC=±1/8
∵tanC＞0，sinC＞0
∴cosC＞0,
∴cosC=1/8
（2）cosC=（向量CB乘向量CA）/（向量CB的模乘向量CA的模）
即 1/8 = 2.5/ab
即 ab=20 与a+b=9联立解得a=4，b=5或a=5，b=4
由余弦定理得 cosC=（a²+b²-c²）/2ab
所以1/8=(4²+5²-c²）/2*4*5
解得c=6

Answer 2

tanC=3√7 所以（sinC/cosC)^2=63 所以(sinC^2+cosC^2)/cosC^2=64 所以1/cosC^2=64
所以cosC=1/8
→ →
CB * CA =2.5 所以a*b*cosC=2.5 所以a*b=20 所以a^2+b^2=(a+b)^-2*a*b=41
c^2=a^2+b^2-2a*b*cosC=61-2*10*1*8=36 所以c=6