Question

已知角α为锐角,求证:(1+1/sinα)(1+1/cosα)≥3+2√2

Answer 1

由柯西不等式知：(1+1/sinα)(1+1/cosα)≥(1+1/√sinacosa)^2=[1+1/(√sin2a/2)]^2≥(1+√2)^2

                             =3+2√2

                           ∴(1+1/sinα)(1+1/cosα)≥3+2√2

追问

怎么推 √sin2a /2 > √2

追答

方法2：(1+1/sinα)(1+1/cosα)=1+1/sinα+1/cosα+1/sinacosa
∵1/sinα+1/cosα>=2/√sinacosa=2√2/√sin2a>=2√2
∵1/sinacosa=2/2sinacosa=2/sina>=2
∴(1+1/sinα)(1+1/cosα)=1+1/sinα+1/cosα+1/sinacosa≥3+2√2

Answer 2

构造函数
要证明(1+1/sina)(1+1/cosa)≥3+2√2
即证y=(1+1/sina)(1+1/cosa）
=(sinacosa+sina+cosa+1)/(sinacosa) （*）的最小值为3+2√2
令t=sina+cosa,a为锐角，则t的范围为（1，根号2]
所以2sinacosa=t^2-1
(*)转化为y=(t^2-1+2t+2)/(t^2-1)
=1+2/(t-1)
该函数为定义域上的减函数
所以当t=根号2时有最小值3+2根号2
故(1+1/sinα)(1+1/cosα)≥3+2√2

Answer 3

3+2√2=（1+√2)的平方

追问

过程！！！

追答

一个个证明1/sinα≥√2