Question

如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,E是AC上一点,CF⊥BE于F。试说明∠BFD=∠A

如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,E是AC上一点,CF⊥BE于F。试说明∠BFD=∠A

Answer 1

证明：易证△BDC相似于△BCA，得BD:BC=BC:BA，所以BC的平方等于BD*BA。

同理，BC的平方等于BF*BE。

所以BD*BA=BF*BE，即BD:BE=BF:BA。

又角ABE=角ABE,所以△BDF相似于△BEA，所以∠BFD=∠A

Answer 2

∠CFB是直角，∠CDB也是直角，也就是说若以BC为直径做一个圆，那么点F、D必在圆上，

弦BD所对应得圆周角∠DFB，∠DCB相等，那么只需证明∠DCB等于∠A即可；

显然直角三角形ABC与直角三角形CBD中∠B相等，那么∠DCB等于∠A，即∠DFB=∠A：

Answer 3

gdfgf

Answer 4

∵∠CDB=90°∴∠DCB=∠A
∵∠BFC=∠BCD=90°
∴点F、点D在以CB为直径的圆上
∴∠BCD=∠BFD
∴∠BFD=∠A

Answer 5

∵∠CDB=90°∴∠DCB=∠A (两个直角三角形△BDC和△BCA，共用一个∠ABC)
∵∠BFC=∠BDC=90°
∴点F、点D在以CB为直径的圆上,即四边形DFCB是圆的内接四边形。
∵圆的内接四边形对角互补，所以∠BFD+90°+∠ABC=180°即∠BFD+∠ABC=90°

∵△ABC中,∠ACB=90°，即∠A+∠ABC=90°
∴∠BFD=∠A

Answer 6

因为∠ACB=90°，∠ADC=90°，所以∠A=∠DCB.
设FB,CD交于O点
可以证出三角形CFO相似于三角形BDO
又由两边对应成比例，夹角相等，证出三角形FOD相似于三角形COB
所以∠BFD=∠A