Question

请解释高数定积分证明1、若f(x)在〔-a,a〕上连续且为偶函数，则 ∫（上a下-a）f(x)dx=2∫（上a下0）f(x)dx

求证1、若f(x)在〔-a,a〕上连续且为偶函数，则∫（上a下-a）f(x)dx=2∫（上a下0）f(x)dx
2、若f(x)在〔-a,a〕上连续且为奇函数，则∫（上a下-a）f(x)dx=0
证明：因为∫（上a下-a）f(x)dx=∫（上0下-a）f(x)dx+∫（上a下0）f(x)dx
对积分∫（上0下-a）f(x)dx做代换x=-t得
∫（上0下-a）f(x)dx=-∫（上0下a）f(-t)dt=∫（上a下0）f(-t)dt=∫（上a下0）f(-x)dx
于是∫（上a下-a）f(x)dx=∫（上a下0）f(-x)dx+∫（上a下0）f(x)dx
=∫（上a下0）〔f(x)+f(-x)〕dx
（1）若f(x)为偶函数，即f(-x)=f(x)，则f(x)+f(-x)=2f(x)
从而∫（上a下-a）f(x)dx=2∫（上a下0）f(x)dx
（2）（1）若f(x)为奇函数，即f(-x)=-f(x)，则f(x)+f(-x)=0
从而∫（上a下-a）f(x)dx=0

请问：其中关键的一步
对积分∫（上0下-a）f(x)dx做代换x=-t得
∫（上0下-a）f(x)dx=-∫（上0下a）f(-t)dt=∫（上a下0）f(-t)dt=∫（上a下0）f(-x)dx
看不懂，感觉根本不相等，特别是∫（上0下-a）f(x)dx=-∫（上0下a）f(-t)dt和
∫（上a下0）f(-t)dt=∫（上a下0）f(-x)dx是怎么等出来的？

Answer 1

不知道图片是否清晰，因为我不会直接打出公式来，就用数学编辑器先编完用QQ截的图。呵呵~

Answer 2

答案不错，是2/3
主要运用奇函数在对称区间上积分为0
令F(x)=x·[f(x)+f(-x)],x∈(-1,1),则
F(-x)=(-x)·[f(-x)+f(x)]=-F(x)
∴F(x)是(-1,1)上的奇函数
∴∫(1,1) x·[f(x)+f(-x)+x]dx=∫(-1,1) [F(x)+x²]dx
=0+∫(-1.1) x²dx
=2∫(0,1) x²dx
=2·[x³/3]|(0,1)
=2/3
希望我的解答对你有所帮助 (*^__^*)