Question

在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O,E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F。若向量AC=a,向量BD=b，则向

在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O,E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F。若向量AC=a,向量BD=b，则向量AF=?

Answer 1

解：因为<AD>=<AO>+<OD>=(1/2)<a>+(1/2)<b>，<AE>=<AO>+<OE>=(1/2)<a>+(1/4)<b>
设<AF>=m<AE>=m[(1/2)<a>+(1/4)<b>]，<DF>=n<FC>，则
因为<AF>-<AD>=n[<AC>-<AF>]
所以(n+1)<AF>=<AD>+n<AC>
因为<AF>=m<AE>=m[(1/2)<a>+(1/4)<b>]，<AD>=<AO>+<OD>=(1/2)<a>+(1/2)<b>，
<AC>=<a>
所以(n+1)m[(1/2)<a>+(1/4)<b>]=(1/2)<a>+(1/2)<b>+n<a>
所以[(n+1)m(1/2)-(1/2)-n]<a>=[(1/2)-(n+1)m(1/4)]<b>
因为<a>、<b>不共线，要使上述等式成立，则<a>、<b>前系数都应为0
所以(n+1)m(1/2)-(1/2)-n=(1/2)-(n+1)m(1/4)=0
所以m=4/3，n=1/2
因为<AF>=m<AE>=m[(1/2)<a>+(1/4)<b>]，m=4/3
所以<AF>=(2/3)<a>+(1/3)<b>

说明：其中<a>表示向量a，希望对你有所帮助。

Answer 2

郭敦顒回答：
这题尚缺少AB或AD或其它方面的具体条件，不能给出AF的具体值，但再设定一个相关数据后，可得出关于AF的关系式——
设∠AOD=θ，θ是向量OC与向量OD间的夹角，亦即向量AC与向量BD间的夹角，
点E是平行四边形ABCD对角线BD的四等分点，靠近D，AE的延长线交CD于F，
∴DE=（3/4）BD，DE：BE=1：3，
∵在△EFD与△EAB中，∠FED=∠AEB（对顶角），
∠ABD=∠BDF（平行则内错角相等），∠ABD=∠ABE，∠BDF=∠EDF（同角），
∴∠ABE=∠EDF，
∴△EFD∽△EAB，∴FE/AE=DF/AB=DE/BE=1/3，
∴DF=AB/3，
在△OCD中，OC=| a|/2，OD= |b|/2，∠AOD=θ，
按余弦定理：cosθ=（|a|²/4+|b|²/4－CD²）/（|a||b|/2），
（ab/2）cosθ=|a|²/4+|b|²/4－CD²，
CD²= |a|²/4+|b|²/4－（|a||b|/2）cosθ，
AB=CD=√[| a|²/4+|b|²/4－（|a||b|/2）cosθ]；
同理求得BC²=|a|²/4+|b|²/4－（|a||b|/2）cos（180°－θ），
AD=BC=√[ |a|²/4+|b|²/4－（|a|b|/2）cos（180°－θ）]。
在△ACD中，cos∠ADC =（AD²+CD²－a²）/（2 AD•CD）
∴∠ADC= arc cos[（AD²+CD²－|a|²）/（2 AD•CD）]。
∵DF=AB/3，∴DF={√[ |a|²/4+|b|²/4－（|a||b|/2）cosθ]}/3，
在△AFD中，∠ADF =∠ADC（同角），
cos∠ADF =（AD²+DF²－AF²）/（2 AD•DF），
（2 AD•DF）cos∠ADF =AD²+DF²－AF²，
AF²=AD²+DF²－（2 AD•DF）cos∠ADF，
∴AF=√{AD²+DF²－（2 AD•DF）cos∠ADF}。

Answer 3

此题缺少条件，假定BC边长为c；则结果为AF^2=(16/9)*(a^2/8-b^2/16+c^2/2)

主要原因：题意只给定了AC和BD，说明平行四边形是不稳定的，然而AF的长度与边BC相关

Answer 4

b-a