如图，三角形ABC中，AB=BC=CA,AE=CD,AD和BE相交于P，BC⊥AD于Q，求证：BP=2PQ
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因为在△ABC中，AB=BC=CA，所以△ABC是等边三角形。
即∠BCA=∠CAB=∠ABC=60°，于是∠DCA=∠EAB
再加上CA=AB，CD=AE，所以△CDA≌△AEB
故∠DAC=∠EBA
又∠ADC=∠DBQ+∠BQD=∠DBQ+90°，所以∠DBQ=∠ADC-90°
所以∠EBA+∠DBQ=∠DAC+∠ADC-90°=180°-∠ACD-90°=180°-60°-90°=30°
故∠PBQ=∠ABC-(∠EBA+∠DBQ)=60°-30°=30°
即在直角三角形BPQ中，BP=2PQ
即∠BCA=∠CAB=∠ABC=60°，于是∠DCA=∠EAB
再加上CA=AB，CD=AE，所以△CDA≌△AEB
故∠DAC=∠EBA
又∠ADC=∠DBQ+∠BQD=∠DBQ+90°，所以∠DBQ=∠ADC-90°
所以∠EBA+∠DBQ=∠DAC+∠ADC-90°=180°-∠ACD-90°=180°-60°-90°=30°
故∠PBQ=∠ABC-(∠EBA+∠DBQ)=60°-30°=30°
即在直角三角形BPQ中，BP=2PQ
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