Question

已知数列{An}An+2=An+1+An且A1=A2=1求数列{An}通项公式（1 1 2 3 5 8 13 21 34......）

Answer 1

裴波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，。。。
裴波那契数列递推公式：F(n+2) = F(n+1) + F(n)
F(1)=F(2)=1。
它的通项求解如下：

F(n+2) = F(n+1) + F(n) => F(n+2) - F(n+1) - F(n) = 0
令 F(n+2) - aF(n+1) = b(F(n+1) - aF(n))
展开 F(n+2) - (a+b)F(n+1) + abF(n) = 0
显然 a+b=1 ab=-1
由韦达定理知 a、b为二次方程 x^2 - x - 1 = 0 的两个根
解得 a = (1 + √5)/2，b = (1 -√5)/2 或 a = (1 -√5)/2，b = (1 + √5)/2

令G(n) = F(n+1) - aF(n)，则G(n+1) = bG(n)，且G(1) = F(2) - aF(1) = 1 - a = b，因此G(n)为等比数列，G(n) = b^n ，即
F(n+1) - aF(n) = G(n) = b^n --------(1)

在(1)式中分别将上述 a b的两组解代入，由于对称性不妨设x = (1 + √5)/2，y = (1 -√5)/2，得到：
F(n+1) - xF(n) = y^n
F(n+1) - yF(n) = x^n
以上两式相减得：
(x-y)F(n) = x^n - y^n
F(n) = (x^n - y^n)/(x-y) = {[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}/√5

Answer 2

你好，你要的答案是：

显然这是一个线性递推数列。
通项公式的推导方法一：利用特征方程
线性递推数列的特征方程为：
X^2=X+1
解得
X1=(1+√5)/2,，X2=(1-√5)/2
则an=C1*X1^n + C2*X2^n
∵a1=a2=1
∴C1*X1 + C2*X2
C1*X1^2 + C2*X2^2
解得C1=1/√5，C2=-1/√5
∴an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}（√5表示根号5）