2007天津数学理科高考题
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1． 是虚数单位， （ ）
A． B． C． D．
2．设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为（ ）
A．4 B．11 C．12 D．14
3．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设双曲线 的离心率为 ，且它的一条准线与抛物线 的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．函数 的反函数是（ ）
A． B．
C． D．
6．设 为两条直线， 为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若 与 所成的角相等，则
B．若 ， ，则
C．若 ，则
D．若 ， ，则
7．在 上定义的函数 是偶函数，且 ，若 在区间 上是减函数，则 （ ）
A．在区间 上是增函数，在区间 上是增函数
B．在区间 上是增函数，在区间 上是减函数
C．在区间 上是减函数，在区间 上是增函数
D．在区间 上是减函数，在区间 上是减函数
8．设等差数列 的公差 不为0， ．若 是 与 的等比中项，则 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．设 均为正数，且 ， ， ．则（ ）
A． B． C． D．
10．设两个向量 和 ，其中 为实数．若 ，中央电视台 的取值范围是（ ）
A．[-6，1] B． C．（-6，1] D．[-1，6]
2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
第Ⅱ卷
注意事项：
1．答案前将密封线内的项目填写清楚．
2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上．
3．本卷共12小题，共100分．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．
11．若 的二项展开式中 的系数为 ，则 （用数字作答）．
12．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ．
13．设等差数列 的公差 是2，前 项的和为 ，则 ．
14．已知两圆 和 相交于 两点，则直线 的方程是 ．
15．如图，在 中， ， 是边 上一点， ，则 ．
16．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．
三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的最小正周期；
（Ⅱ）求函数 在区间 上的最小值和最大值．
18．（本小题满分12分）
已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（Ⅲ）设 为取出的4个球中红球的个数，求 的分布列和数学期望．
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ， 是 的中点．
（Ⅰ）证明 ；
（Ⅱ）证明 平面 ；
（Ⅲ）求二面角 的大小．
20．（本小题满分12分）
已知函数 ，其中 ．
（Ⅰ）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）当 时，求函数 的单调区间与极值．
21．（本小题满分14分）
在数列 中， ，其中 ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 的前 项和 ；
（Ⅲ）证明存在 ，使得 对任意 均成立．
22．（本小题满分14分）
设椭圆 的左、右焦点分别为 是椭圆上的一点， ，原点 到直线 的距离为 ．
（Ⅰ）证明 ；
（Ⅱ）设 为椭圆上的两个动点， ，过原点 作直线 的垂线 ，垂足为 ，求点 的轨迹方程．
2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）参考解答
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．
1．C 2．B 3．A 4．D 5．C
6．D 7．B 8．B 9．A 10．A
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分．
11．2 12． 13．3
14． 15． 16．390
三、解答题
17．本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数 的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．
（Ⅰ）解： ．
因此，函数 的最小正周期为 ．
（Ⅱ）解法一：因为 在区间 上为增函数，在区间 上为减函数，又 ， ， ，
故函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ．
解法二：作函数 在长度为一个周期的区间 上的图象如下：
由图象得函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ．
18．本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．
（Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件 ，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件 ．由于事件 相互独立，且 ， ．
故取出的4个球均为黑球的概率为 ．
（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件 ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件 ．由于事件 互斥，
且 ， ．
故取出的4个球中恰有1个红球的概率为 ．
（Ⅲ）解： 可能的取值为 ．由（Ⅰ），（Ⅱ）得 ， ，
．从而 ．
的分布列为
0 1 2 3
的数学期望 ．
19．本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．满分12分．
（Ⅰ）证明：在四棱锥 中，因 底面 ， 平面 ，故 ．
， 平面 ．
而 平面 ， ．
（Ⅱ）证明：由 ， ，可得 ．
是 的中点， ．
由（Ⅰ）知， ，且 ，所以 平面 ．
而 平面 ， ．
底面 在底面 内的射影是 ， ， ．
又 ，综上得 平面 ．
（Ⅲ）解法一：过点 作 ，垂足为 ，连结 ．则（Ⅱ）知， 平面 ， 在平面 内的射影是 ，则 ．
因此 是二面角 的平面角．
由已知，得 ．设 ，
可得 ．
在 中， ， ，
则 ．
在 中， ．
所以二面角 的大小是 ．
解法二：由题设 底面 ， 平面 ，则平面 平面 ，交线为 ．
过点 作 ，垂足为 ，故 平面 ．过点 作 ，垂足为 ，连结 ，故 ．因此 是二面角 的平面角．
由已知，可得 ，设 ，
可得 ．
， ．
于是， ．
在 中， ．
所以二面角 的大小是 ．
20．本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．满分12分．
（Ⅰ）解：当 时， ， ，
又 ， ．
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ．
（Ⅱ）解： ．
由于 ，以下分两种情况讨论．
（1）当 时，令 ，得到 ， ．当 变化时， 的变化情况如下表：
0
0
极小值
极大值
所以 在区间 ， 内为减函数，在区间 内为增函数．
函数 在 处取得极小值 ，且 ，
函数 在 处取得极大值 ，且 ．
（2）当 时，令 ，得到 ，当 变化时， 的变化情况如下表：
0
0
极大值
极小值
所以 在区间 ， 内为增函数，在区间 内为减函数．
函数 在 处取得极大值 ，且 ．
函数 在 处取得极小值 ，且 ．
21．本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前 项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分14分．
（Ⅰ）解法一： ，
，
．
由此可猜想出数列 的通项公式为 ．
以下用数学归纳法证明．
（1）当 时， ，等式成立．
（2）假设当 时等式成立，即 ，
那么
．
这就是说，当 时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式 对任何 都成立．
解法二：由 ， ，
可得 ，
所以 为等差数列，其公差为1，首项为0，故 ，所以数列 的通项公式为 ．
（Ⅱ）解：设 ， ①
②
当 时，①式减去②式，
得 ，
．
这时数列 的前 项和 ．
当 时， ．这时数列 的前 项和 ．
（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列 的第一项 最大，下面证明：
． ③
由 知 ，要使③式成立，只要 ，
因为
．
所以③式成立．
因此，存在 ，使得 对任意 均成立．
22．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．
（Ⅰ）证法一：由题设 及 ， ，不妨设点 ，其中 ．由于点 在椭圆上，有 ，即 ．
解得 ，从而得到 ．
直线 的方程为 ，整理得 ．
由题设，原点 到直线 的距离为 ，即 ，
将 代入上式并化简得 ，即 ．
证法二：同证法一，得到点 的坐标为 ．
过点 作 ，垂足为 ，易知 ，故 ．
由椭圆定义得 ，又 ，
所以 ，
解得 ，而 ，得 ，即 ．
（Ⅱ）解法一：设点 的坐标为 ．
当 时，由 知，直线 的斜率为 ，所以直线 的方程为 ，或 ，其中 ， ．
点 的坐标满足方程组
将①式代入②式，得 ，
整理得 ，
于是 ， ．
由①式得
．
由 知 ．将③式和④式代入得 ，
．
将 代入上式，整理得 ．
当 时，直线 的方程为 ， 的坐标满足方程组
所以 ， ．
由 知 ，即 ，
解得 ．
这时，点 的坐标仍满足 ．
综上，点 的轨迹方程为 ．
解法二：设点 的坐标为 ，直线 的方程为 ，由 ，垂足为 ，可知直线 的方程为 ．
记 （显然 ），点 的坐标满足方程组
由①式得 ． ③
由②式得 ． ④
将③式代入④式得 ．
整理得 ，
于是 ． ⑤
由①式得 ． ⑥
由②式得 ． ⑦
将⑥式代入⑦式得 ，
整理得 ，
于是 ． ⑧
由 知 ．将⑤式和⑧式代入得 ，
．
将 代入上式，得 ．
所以，点 的轨迹方程为 ．
A． B． C． D．
2．设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为（ ）
A．4 B．11 C．12 D．14
3．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设双曲线 的离心率为 ，且它的一条准线与抛物线 的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．函数 的反函数是（ ）
A． B．
C． D．
6．设 为两条直线， 为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若 与 所成的角相等，则
B．若 ， ，则
C．若 ，则
D．若 ， ，则
7．在 上定义的函数 是偶函数，且 ，若 在区间 上是减函数，则 （ ）
A．在区间 上是增函数，在区间 上是增函数
B．在区间 上是增函数，在区间 上是减函数
C．在区间 上是减函数，在区间 上是增函数
D．在区间 上是减函数，在区间 上是减函数
8．设等差数列 的公差 不为0， ．若 是 与 的等比中项，则 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．设 均为正数，且 ， ， ．则（ ）
A． B． C． D．
10．设两个向量 和 ，其中 为实数．若 ，中央电视台 的取值范围是（ ）
A．[-6，1] B． C．（-6，1] D．[-1，6]
2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
第Ⅱ卷
注意事项：
1．答案前将密封线内的项目填写清楚．
2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上．
3．本卷共12小题，共100分．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．
11．若 的二项展开式中 的系数为 ，则 （用数字作答）．
12．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ．
13．设等差数列 的公差 是2，前 项的和为 ，则 ．
14．已知两圆 和 相交于 两点，则直线 的方程是 ．
15．如图，在 中， ， 是边 上一点， ，则 ．
16．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．
三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的最小正周期；
（Ⅱ）求函数 在区间 上的最小值和最大值．
18．（本小题满分12分）
已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（Ⅲ）设 为取出的4个球中红球的个数，求 的分布列和数学期望．
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ， 是 的中点．
（Ⅰ）证明 ；
（Ⅱ）证明 平面 ；
（Ⅲ）求二面角 的大小．
20．（本小题满分12分）
已知函数 ，其中 ．
（Ⅰ）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）当 时，求函数 的单调区间与极值．
21．（本小题满分14分）
在数列 中， ，其中 ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 的前 项和 ；
（Ⅲ）证明存在 ，使得 对任意 均成立．
22．（本小题满分14分）
设椭圆 的左、右焦点分别为 是椭圆上的一点， ，原点 到直线 的距离为 ．
（Ⅰ）证明 ；
（Ⅱ）设 为椭圆上的两个动点， ，过原点 作直线 的垂线 ，垂足为 ，求点 的轨迹方程．
2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）参考解答
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．
1．C 2．B 3．A 4．D 5．C
6．D 7．B 8．B 9．A 10．A
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分．
11．2 12． 13．3
14． 15． 16．390
三、解答题
17．本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数 的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．
（Ⅰ）解： ．
因此，函数 的最小正周期为 ．
（Ⅱ）解法一：因为 在区间 上为增函数，在区间 上为减函数，又 ， ， ，
故函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ．
解法二：作函数 在长度为一个周期的区间 上的图象如下：
由图象得函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ．
18．本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．
（Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件 ，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件 ．由于事件 相互独立，且 ， ．
故取出的4个球均为黑球的概率为 ．
（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件 ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件 ．由于事件 互斥，
且 ， ．
故取出的4个球中恰有1个红球的概率为 ．
（Ⅲ）解： 可能的取值为 ．由（Ⅰ），（Ⅱ）得 ， ，
．从而 ．
的分布列为
0 1 2 3
的数学期望 ．
19．本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．满分12分．
（Ⅰ）证明：在四棱锥 中，因 底面 ， 平面 ，故 ．
， 平面 ．
而 平面 ， ．
（Ⅱ）证明：由 ， ，可得 ．
是 的中点， ．
由（Ⅰ）知， ，且 ，所以 平面 ．
而 平面 ， ．
底面 在底面 内的射影是 ， ， ．
又 ，综上得 平面 ．
（Ⅲ）解法一：过点 作 ，垂足为 ，连结 ．则（Ⅱ）知， 平面 ， 在平面 内的射影是 ，则 ．
因此 是二面角 的平面角．
由已知，得 ．设 ，
可得 ．
在 中， ， ，
则 ．
在 中， ．
所以二面角 的大小是 ．
解法二：由题设 底面 ， 平面 ，则平面 平面 ，交线为 ．
过点 作 ，垂足为 ，故 平面 ．过点 作 ，垂足为 ，连结 ，故 ．因此 是二面角 的平面角．
由已知，可得 ，设 ，
可得 ．
， ．
于是， ．
在 中， ．
所以二面角 的大小是 ．
20．本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．满分12分．
（Ⅰ）解：当 时， ， ，
又 ， ．
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ．
（Ⅱ）解： ．
由于 ，以下分两种情况讨论．
（1）当 时，令 ，得到 ， ．当 变化时， 的变化情况如下表：
0
0
极小值
极大值
所以 在区间 ， 内为减函数，在区间 内为增函数．
函数 在 处取得极小值 ，且 ，
函数 在 处取得极大值 ，且 ．
（2）当 时，令 ，得到 ，当 变化时， 的变化情况如下表：
0
0
极大值
极小值
所以 在区间 ， 内为增函数，在区间 内为减函数．
函数 在 处取得极大值 ，且 ．
函数 在 处取得极小值 ，且 ．
21．本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前 项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分14分．
（Ⅰ）解法一： ，
，
．
由此可猜想出数列 的通项公式为 ．
以下用数学归纳法证明．
（1）当 时， ，等式成立．
（2）假设当 时等式成立，即 ，
那么
．
这就是说，当 时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式 对任何 都成立．
解法二：由 ， ，
可得 ，
所以 为等差数列，其公差为1，首项为0，故 ，所以数列 的通项公式为 ．
（Ⅱ）解：设 ， ①
②
当 时，①式减去②式，
得 ，
．
这时数列 的前 项和 ．
当 时， ．这时数列 的前 项和 ．
（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列 的第一项 最大，下面证明：
． ③
由 知 ，要使③式成立，只要 ，
因为
．
所以③式成立．
因此，存在 ，使得 对任意 均成立．
22．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．
（Ⅰ）证法一：由题设 及 ， ，不妨设点 ，其中 ．由于点 在椭圆上，有 ，即 ．
解得 ，从而得到 ．
直线 的方程为 ，整理得 ．
由题设，原点 到直线 的距离为 ，即 ，
将 代入上式并化简得 ，即 ．
证法二：同证法一，得到点 的坐标为 ．
过点 作 ，垂足为 ，易知 ，故 ．
由椭圆定义得 ，又 ，
所以 ，
解得 ，而 ，得 ，即 ．
（Ⅱ）解法一：设点 的坐标为 ．
当 时，由 知，直线 的斜率为 ，所以直线 的方程为 ，或 ，其中 ， ．
点 的坐标满足方程组
将①式代入②式，得 ，
整理得 ，
于是 ， ．
由①式得
．
由 知 ．将③式和④式代入得 ，
．
将 代入上式，整理得 ．
当 时，直线 的方程为 ， 的坐标满足方程组
所以 ， ．
由 知 ，即 ，
解得 ．
这时，点 的坐标仍满足 ．
综上，点 的轨迹方程为 ．
解法二：设点 的坐标为 ，直线 的方程为 ，由 ，垂足为 ，可知直线 的方程为 ．
记 （显然 ），点 的坐标满足方程组
由①式得 ． ③
由②式得 ． ④
将③式代入④式得 ．
整理得 ，
于是 ． ⑤
由①式得 ． ⑥
由②式得 ． ⑦
将⑥式代入⑦式得 ，
整理得 ，
于是 ． ⑧
由 知 ．将⑤式和⑧式代入得 ，
．
将 代入上式，得 ．
所以，点 的轨迹方程为 ．
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