Question

行列式的计算和证明：题目如图

ijk
要求有解题思路和解答步骤和过程，最好能提供多种解法

Answer 1

1.
右边是Vandermonde行列式 = (a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b)

用加边法考虑左边行列式
|1 a x^2 a^3|
|1 b x^2 b^3| = (x-a)(x-b)(x-c)(b-a)(c-a)(c-b)
|1 c x^2 c^3|
|1 x x^2 x^3|

左边行列式就是上行列式中 (-1)^(4+3)x^2 的系数,即
(-1)^(4+3)(-a-b-c)(b-a)(c-a)(c-b) = (a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b).
得证.

2.
c1+c2+c3+...+c(n+1) 所有列加到第1列
再按第1列展开, 即得行列式 =
(-1)^(n+1+1) a1a2...an = (-1)^n a1a2...an.

有疑问请消息我或追问
搞定请采纳^_^.

追问

第一道题目不是很明白你的思路？第一题可以用行列式的性质直接做？如何做？
第二道题可以直接用行列式的性质做？如何做？

追答

第一道题目是证明等式两边相等
方法: 利用范德蒙行列式的结果
参范德蒙行列式的结果及证明:
http://hiphotos.baidu.com/lry31383/pic/item/d2974fed41fbe14ffcfa3cea.jpg
有范德蒙行列式的结果, 不必用性质去证 (范德蒙行列式就是用性质及归纳法计算出来的).
你若不习惯就等式两边直接用对角线法计算行列式,

第二道题先用行列式的性质, c1+c2+c3+...+c(n+1) 所有列加到第1列
再按第1列展开. 不过刚才忘乘(n+1)了.
行列式 = (-1)^(n+1+1) (n+1)a1a2...an = (-1)^n (n+1)a1a2...an.

只用性质做也行.
1. c1+c2+c3+...+c(n+1)
2. 最后一行依次与上一行交换, 直致交换到第1行, 共交换 n 次. 行列式变成
n+1 1 1 ... 1
0 a1 0 ... 0
0 -a2 a2 ... 0
... ...
0 0 0 ... -an an
3. 第1列提出 (n+1)
4. ci - c1 , i=2,3,...,n+1 (所有列减第1列), 行列式变成
1 0 0 ... 0 0
0 a1 0 ... 0 0
0 -a2 a2 ... 0 0 ... ...
0 0 0 ... -an an
此为下三角行列式, 所以
行列式 = (-1)^n * (n+1)a1a2...an

追问

第1题中：1.第三列为什么全是X的平方？
2.左边行列式就是上行列式中 (-1)^(4+3)x^2 的系数,即
(-1)^(4+3)(-a-b-c)(b-a)(c-a)(c-b) = (a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b).
，这2句话没有看懂？？？？？

追答

第3列写错了, 应该是 a^2,b^2,c^2,x^2

给你个纯用性质证明的哈:
用性质证明:
|1 a a^3| r2-r1 |1 a a^3 |
|1 b b^3| ======= |0 b-a (b-a)(b^2+ab+a^2)|
|1 c c^3| r3-r1 |0 c-a (c-a)(c^2+ac+a^2)|

|1 a a^3 |
= (b-a)(c-a)|0 1 b^2+ab+a^2|
|0 1 c^2+ac+a^2|

r3-r2 |1 a a^3 |
======= |0 1 b^2+ab+a^2 | = (a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b)
|0 0 (c-b)(a+b+c)|

|1 a a^2| r2-r1 |1 a a^2 |
(a+b+c)|1 b b^2| ======= (a+b+c)|0 b-a (b-a)(b+a)|
|1 c c^2| r3-r1 |0 c-a (c-a)(c+a)|

r2-r1 |1 a a^2|
======= (a+b+c)(b-a)(c-a)|0 1 b+a|
r3-r1 |0 1 c+a|

r3-r2 |1 a a^2|
======= (a+b+c)(b-a)(c-a)|0 1 b+a|
|0 0 c-b|
= (a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b)

追问

第二题题目说的是n阶行列式，但它有n+1行n+1列组成，应该是n+1阶行列式？是题目出错了？还是我对行列式的概念理解错误？

追答

是题目有误
是 n+1 阶行列式

Answer 2

1.把两边都算出来就行了
左边=右边=(b-a)(c-a)(c-b)(a+b+c)

2.把每一列都加到第一列上，你会看到答案！