Question

P是锐角三角形中的一点 且∠PAB=∠PBC=∠PCA 证明cot∠PAB=cot∠A+cot∠B+cot∠C

Answer 1

只要熟练掌握三角函数的余弦定理和正弦定理即可，我们记PA=x, PB=y,PC=z,AB=c,BC=a,CA=b,
∠PAB=∠PBC=∠PCA=t, 要表达出cot 的函数，我们首先把cos, sin的表达式分别找到，然后相处即可，要得到cos t的表达，可以有三个小三角形都有，为了不破坏对称性，我们三个都用上，于是由c^2+x^2-y^2=2cx cost, a^2+y^2-z^2=2ay cost, b^2+z^2-x^2=2bz cost, 三式相加可得cos t=(a^2+b^2+c^2)/(2ay+2bz+2cx), 利用三块小三角形面积公式分别得到的式子并相加可得2S=2（S1+S2+S3）=cxsint+aysint+bzsint, 其中这里S,S1,S2,S3分别为三角形面积ABC，PAB, PBC, PCA的面积，于是我们得到了sint=2S/(cx+ay+bz), 因此我们有cot t=cost /sint=(a^2+b^2+c^2)/(4S), 我们同样先用余弦定理求得cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc), 利用面积公式得可得sinA=(2S)/bc, 因此有cot A=(b^2+c^2-a^2)/(4S), 同理可得cot B=(c^2+a^2-b^2)/(4S), cot C=(a^2+b^2-c^2)/(4S), 这样我们就得到了cotA+cotB+cotC=(a^2+b^2+c^2)/(4S), 因此我们得cot∠PAB=cot∠A+cot∠B+cot∠C，证毕。

Answer 2

噩噩噩噩噩噩噩噩噩噩噩噩噩噩噩噩噩噩
不会啊，严重关注一哈。。。。。