Question

高中数学圆锥曲线题，请网友帮我解答一下

若直线y=kx+2与双曲线x²-y²=6的右支交于不同两点，那么k 的取值范围是

Answer 1

方法1：利用代数法
联立y=kx+2和x²-y²=6得到(k²-1)x²+4kx+10=0
直线与双曲线右支交于不同两点，此关于x的方程有两个不等的正数根。
于是有Δ=(4k)²-40(k²-1)>0
且x1+x2=4k/(1-k²)>0，x1x2=10/(k²-1)>0
分别解得-√15/3<k<√15/3，k<-1或0<k<1，k<-1或k>1
所以-√15/3<k<-1。
方法2：用几何法
直线y=kx+2过定点(0，1)，画直线与双曲线，过点(0，1)作与双曲线的渐近线y=±x的平行直线。
观察得到过(0，1)的直线中与右支相切，及平行于直线y=-x平行直线y=-x+1之间的直线与双曲线右支有两个不同交点。
求出与右支的切线斜率为-√15/3，于是k的范围是-√15/3<k<-1。

Answer 2

y=kx+2
x²-y²=6
k=0时，成立
k≠0时：联立方程
(1-k²)x²-4kx-10=0
交于不同两点即△=(16k²)+40(1-k²)>0
此时解得:-√15/3<k<√15/3