数学题 已知∠ABC是90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点【点P与点不重合】连结AP将AP绕点A旋
问题1 如图2 当BP等于BA ，∠EBF＝？猜想∠QFC＝？
问题2 当点P为射线BC上任意一点时猜想∠QFC＝？加以证明
问题3 已知道线段AB等于2根号3，设BP＝X，点Q到射线BC的距离为Y，求Y关于X的函数关系 展开
解：（1）∠EBF=30°；
∠QFC=60°；
（2）∠QFC=60°．
不妨设BP＞ √3AB，如图1所示．
∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP，
∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP，
∴∠BAP=∠EAQ．
在△ABP和△AEQ中
AB=AE，∠BAP=∠EAQ，AP=AQ，
∴△ABP≌△AEQ．（SAS）
∴∠AEQ=∠ABP=90°．
∴∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°．
∴∠QFC=∠EBF+∠BEF=30°+30°=60°．
（事实上当BP≤√ 3AB时，如图2情形，不失一般性结论仍然成立）
（3）在图1中，过点F作FG⊥BE于点G．
∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=2√ 3．
由（1）得∠EBF=30°．
在Rt△BGF中，BG= BE/2=√ 3，
∴BF= BG/cos30°=2．
∴EF=2．
∵△ABP≌△AEQ．
∴QE=BP=x，
∴QF=QE+EF=x+2．
过点Q作QH⊥BC，垂足为H．
在Rt△QHF中，y=QH=sin60°×QF=√ 3/2（x+2）．（x＞0）
即y关于x的函数关系式是：y= √3/2x+ √3．
∠QFC=60°；（2分）
（2）∠QFC=60°． （1分）
不妨设BP＞ 3AB，如图1所示．
∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP，
∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP，
∴∠BAP=∠EAQ． （2分）
在△ABP和△AEQ中
AB=AE，∠BAP=∠EAQ，AP=AQ，
∴△ABP≌△AEQ．（SAS） （3分）
∴∠AEQ=∠ABP=90°． （4分）
∴∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°．
∴∠QFC=∠EBF+∠BEF=30°+30°=60°． （5分）
（事实上当BP≤ 3AB时，如图2情形，不失一般性结论仍然成立，不分类讨论不扣分）
（3）在图1中，过点F作FG⊥BE于点G．
∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=2 3．
由（1）得∠EBF=30°．
在Rt△BGF中，BG= BE2= 3，
∴BF= BGcos30°=2．
∴EF=2． （1分）
∵△ABP≌△AEQ．
∴QE=BP=x，
∴QF=QE+EF=x+2． （2分）
过点Q作QH⊥BC，垂足为H．
在Rt△QHF中，y=QH=sin60°×QF= 32（x+2）．（x＞0）
即y关于x的函数关系式是：y= 32x+ 3． （3分）
∴∠QMP=∠Q+∠PAQ=∠APB+∠QFC，
易证△ABP≌△AEQ
则∠Q=∠APB
由旋转知∠PAQ=60°，
∴∠QFC=∠PAQ=60°
解：（1）∠EBF=30°；
∠QFC=60°；
（2）∠QFC=60°．
不妨设BP＞ √3AB，如图1所示．
∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP，
∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP，
∴∠BAP=∠EAQ．
在△ABP和△AEQ中
AB=AE，∠BAP=∠EAQ，AP=AQ，
∴△ABP≌△AEQ．（SAS）
∴∠AEQ=∠ABP=90°．
∴∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°．
∴∠QFC=∠EBF+∠BEF=30°+30°=60°．
（事实上当BP≤√ 3AB时，如图2情形，不失一般性结论仍然成立）
（3）在图1中，过点F作FG⊥BE于点G．
∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=2√ 3．
由（1）得∠EBF=30°．
在Rt△BGF中，BG= BE/2=√ 3，
∴BF= BG/cos30°=2．
∴EF=2．
∵△ABP≌△AEQ．
∴QE=BP=x，
∴QF=QE+EF=x+2．
过点Q作QH⊥BC，垂足为H．
在Rt△QHF中，y=QH=sin60°×QF=√ 3/2（x+2）．（x＞0）
即y关于x的函数关系式是：y= √3/2x+ √3．
