Question

设P=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4),Q=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4),则P-Q的结果为

Answer 1

由于P、Q都是四次式，所以P－Q的结果最多也是四次式。
设P－Q＝f（x）＝ax^4＋bx^3＋cx²＋dx＋e
分别令x＝0，±1，±2，可得到5个等式。
x＝0时，P－Q＝1×2×3×4－（-1）（-2）（-3）（-4）＝0，
f（0）＝e；
x＝1时，P－Q＝2×3×4×5－0＝120，
f（1）＝a＋b＋c＋d＋e；
x＝-1时，P－Q＝0－（-2）（-3）（-4）（-5）＝-120，
f（-1）＝a－b＋c－d＋e；
x＝2时，P－Q＝3×4×5×6－0＝360，
f（2）＝16a＋8b＋4c＋2d＋e；
x＝-2时，P－Q＝0－（-3）（-4）（-5）（-6）＝-360，
f（-2）＝16a－8b＋4c－2d＋e。
这样5个等式为：
e＝0；
a＋b＋c＋d＋e＝120；
a－b＋c－d＋e＝-120；
16a＋8b＋4c＋2d＋e＝360；
16a－8b＋4c－2d＋e＝-360。
解此方程组得
a＝0，b＝20，c＝0，d＝100，e＝0。
于是f（x）＝20x^3＋100x，
即P－Q的结果为20x^3＋100x。

注：此类题目的一般解法之一就是这种待定系数法，以解决计算量繁杂的问题。

Answer 2

P=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4),Q=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4),
P的x^4的系数为1，Q的x^4的系数为1，P-Q的x^4的系数为0
P的x^3的系数为4+3+2+1=10，Q的x^3的系数为-10，P-Q的x^3的系数为20
P的x^2的系数为3*4+2*4+2*3+1*4+1*3+1*2=35，Q的x^3的系数为35，P-Q的x^3的系数为0
P的x的系数为2*3*4+1*3*4+1*2*3=42，Q的x的系数为-42，P-Q的x的系数为84
P的常数项为24，Q的常数项为24，P-Q的常数项为0
则P-Q的结果为20x^3+84x

Answer 3

解答：
P-Q=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]-[(x-1)(x-4)][(x-2)(x-3)]
=[(x^2+5x)+4][(x^2+5x)+6]-[(x^2-5x)+4][(x^2-5x)+6]
=(x^2+5x)^2+10(x^2+5x)+24-(x^2-5x)^2-10(x^2-5x)-24
=x^4+10x^3+25x^2+10x^2+50x+24-x^4+10x^3-25x^2-10x^2+50x-24
=20x^3+100x

Answer 4

最后结果中x^4，x^2和常数项肯定没有了，结果是ax^3+bx 可以把P,Q展开 只算这两个项的系数

Answer 5

(x+1)*(x+2)*(x+3)*(x+4）
=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)

(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)
=(x^2-5x+4)(x^2-5x+6)

(x+1)*(x+2)*(x+3)*(x+4)-(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)
=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)-(x^2-5x+4)(x^2-5x+6)
=(x^2+5x+5-1)(x^2+5x+5+1)-(x^2-5x+5-1)(x^2-5x+5+1)
=(x^2+5x+5)^2-1-(x^2-5x+5)^2+1
=(x^2+5x+5)^2-(x^2-5x+5)^2
=(x^2+5x+5+x^2-5x+5)(x^2+5x+5-x^2+5x-5)
=(2x^2+10)*10x
=2(x^2+5)*10x
=20x(x^2+5)[*表示乘号]