Question

设P=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4),Q=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4),则P-Q的结果为

Answer 1

由于P、Q都是四次式，所以P－Q的结果最多也是四次式。
设P－Q＝f（x）＝ax^4＋bx^3＋cx²＋dx＋e
分别令x＝0，±1，±2，可得到5个等式。
x＝0时，P－Q＝1×2×3×4－（-1）（-2）（-3）（-4）＝0，
f（0）＝e；
x＝1时，P－Q＝2×3×4×5－0＝120，
f（1）＝a＋b＋c＋d＋e；
x＝-1时，P－Q＝0－（-2）（-3）（-4）（-5）＝-120，
f（-1）＝a－b＋c－d＋e；
x＝2时，P－Q＝3×4×5×6－0＝360，
f（2）＝16a＋8b＋4c＋2d＋e；
x＝-2时，P－Q＝0－（-3）（-4）（-5）（-6）＝-360，
f（-2）＝16a－8b＋4c－2d＋e。
这样5个等式为：
e＝0；
a＋b＋c＋d＋e＝120；
a－b＋c－d＋e＝-120；
16a＋8b＋4c＋2d＋e＝360；
16a－8b＋4c－2d＋e＝-360。
解此方程组得
a＝0，b＝20，c＝0，d＝100，e＝0。
于是f（x）＝20x^3＋100x，
即P－Q的结果为20x^3＋100x。
注：此类题目的一般解法之一就是这种待定系数法，以解决计算量繁杂的问题。