Question

求函数y=2x-3+根号（x^2-12）的值域

将其视为关于x的方程
等价于
3x^2-4(y+3)x+y^2+6y+21=0
x<=1/2(y+3)
请问然后怎么解 ？ 直接解出x代入二式？

Answer 1

求值域有如下方法第一个就是你的逆求法，但是不太好算，换元法也不怎么好，基本不等式也貌似不好用，观察单调性也不一致，数形结合也不太好 这是我们就用万能的求导法，不知你懂不懂，我先介绍一下根号x的导数，是1/根号x，kx的导数就是k，在这题目里就是2，还有复合函数f(g（x）)导数是f(x)导数乘以g（x）的导数，所以这道题导数为2+x/根号下x^2-12，然后令其等于0，此时x就是最值点的x，为-4，正4不好相信你注意了求x时的x范围，然后还有就是导数大于零代表函数单调增，小于则反之，你判断一下会发现在x小于0时函数先增后减在4时取最大值为-9，当x大于零时导数单调增在2根号3时取最小值，所以值域是小于等于-9大于等于（4根号3）-3

Answer 2

3x^2-4(y+3)x+y^2+6y+21=0
因为x存在
1 所以关于x的一元二次方程有解
故△>=0
16(y+3)^2-12(y^2+6y+21）》0 求得y的定义域
2 但是x的值的范围为x^2-12》0 求得x的取值范围 在根据这个范围分类讨论 分别解得x再此范围内函数分别有1 2 个根的情况下取合集y的定义域
综合上面2个结果取交集 就是本题的答案
说的有点乱 望见谅

Answer 3

3x^2-4(y+3)x+y^2+6y+21=0
因为x存在
所以关于x的一元二次方程有解
故△>=0
16(y+3)^2-12(y^2+6y+21）》0
注意x的定义域

追问

△》0 解出来的是 y<=-9 或》3
x《-2根号3 或 》2根号三
上面两个式子和二式联立之后怎么解？全是不等号.........

追答

△》0 解出来的是 y=2根号3时 y为单调增函数
故 y>=y(2根号3）=4根号3-3

所以 y的值域为 ：y》=4根号3-3 或 y《=-9

Answer 4

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