Question

化下列二次积分位极坐标形式的二次积分 ∫dx∫f(x,y)dy (0<x<1,1-x<y<(1-x^2)^1/2) ∫

化下列二次积分位极坐标形式的二次积分
1,∫dx∫f(x,y)dy (0<x<1,1-x<y<(1-x^2)^1/2) 2,∫dx∫f(x,y)dy (0<x<1,0<y<x^2)
给出步骤

Answer 1

懒得画图了，自己对照我写的吧。

1. y<(1-x^2)^1/2 => 边界为 x^2+y^2=1 是单位圆。
1-x<y => 边界为 x+y=1是一条直线。
画图就可发现， 积分区域其实是单位圆内，直线x+y=1以上的部分，对应于幅角从0-90度，
而半径介于单位圆和直线x+y=1之间。
单位圆很简单，对应极坐标就是 r=1，
1-x<y => 1-r cos a< r sin a => r> 1/(sin a + cos a)
所以 ∫dx∫f(x,y)dy (0<x<1,1-x<y<(1-x^2)^1/2)
= ∫_(0<a<π/2)da ∫_(1/(sin a + cos a) < r <1) f(r,a)dr
（个人习惯在积分号后写不等式）

2. 0<x<1,0<y<x^2 这个区域是介于x轴，直线x=1和抛物线y<x^2之间的区域。
抛物线y<x^2化成极坐标就是 r=sin a / (cos a)^2 = sin a (sec a)^2
(可以有其他更好看，但是这里没必要)
而直线x=1和抛物线y<x^2的交点为 (1,1),其极坐标 (r=√2, a=π/4)
极坐标积分起点仍然是原点，所以 a 的范围是 0 到 π/4，
r的范围则是在抛物线y<x^2和直线x=1之间，
直线x=1化成极坐标，就是r cos a =1, 或者 r= sec a，
所以对应不等式应该是 sin a (sec a)^2 < r < sec a
（注意抛物线在左，直线在右，不能反了）
所以 ∫dx∫f(x,y)dy (0<x<1,0<y<x^2)
= ∫_(0<a<π/4)da∫_(sin a (sec a)^2 < r < sec a) f(r,a)dr

有问题可再追问。
嗯，还真有点累啊，主要是打字，能给点分吗？ 谢谢。

Answer 2

做不来