Question

已知，如图，直线l：y=1/3x+b，经过点M（0，1/4），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3

已知，如图，直线l：y=1/3x+b，经过点M（0，1/4），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…，Bn（n，yn）（n为正整数）依次是直线l上的点，这组抛物线与X轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…，An+1（Xn+1，0）（n为正整数），设x1=d（0<d<1）。

（1）、求b的值。
（2）、设过A1，B1，A2三点的二次函数的表达式为y=a（x+m）²+n，求此表达式。（用含d的代数式表示）
（3）、定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为“美丽抛物线”。探究：当d（0<d<1）的大小变化时，这组抛物线是否存在美丽抛物线？若存在，请你求出相应的d值

Answer 1

（1）因为M（0，1/4)在y=1/3x+b上，所以1/4

=1/3×0+b

即b=1/4

（2）由（1）得y=1/3x+1/4

因为B1（1，y）在l上，所以当x=1时，y1=1/3×1+1/4=7/12

所以B1（1，7/12）

设抛物线表达式为y=a（x-1）²+7/12（a≠0）

又因为x1=d

所以a=-7/12（d-1）²

所以经过点A1 B1 A2的抛物线解析式为-7（x-1)²/12（d-1)²+7/12

（3）存在美丽抛物线。由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，所以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半。又0＜d＜1，所以等腰直角三角形斜边的长小于2，所以等腰直角三角形斜边的高一定小于1，即抛物线的定点纵坐标必定小于1.

Answer 2

（1）y=1/3x+b，经过点M（0，1/4），代入可得b=1/4，直线方程为y=1/3x+1/4
（2）抛物线的顶点B1（1，y1）在直线上，因此代入可得y1=7/12，即B1（1，7/12）
依次类推Bn（n，yn）的坐标为Bn（n，n/3+1/4）
直线x=Xn是对应抛物线的对称轴，因此有2n=Xn+Xn+1
故当x1=d时，X2=2-d，X3=2+d，X4=4-d，X5=6+d>6
即A1（x1，0），A2（x2，0）的坐标为A1（d，0），A2（2-d，0），联同B1（1，7/12）
代入y=a（x+m）²+n得
0=a（d+m）²+n (1)
0=a（2-d+m）²+n (2)
7/12=a（1+m）²+n (3)
由前两个得m=-1，代入（3）得n=7/12，再代入（1）得a=7/[12（d-1）²]
故抛物线方程为y=7/[12（d-1）²]（x-1）²+7/12
（3）假设第一个是美丽抛物线，则B1点是直角点，且三角形A1B1A2是等腰直角三角形，根据勾股定理得出A1A2²=2A1B1²
A1A2=2d，A1B1²=（d-1)²+(7/12)²
即2d²=（d-1)²+(7/12)²
解得d=根号337/12-1〈1，符合要求。完毕