Question

如图，梯形OABC放在平面直角坐标系中，OA平行于BC，∠AOC=90°，其中A（8，0）B（4，3）。点P沿折线CB-BA

C出发以每秒1个单位的速度向点A运动，点Q在x轴正半轴上由点O出发以每秒2个单位的速度运动，两店同时出发，设运动时间为t秒，且0≤t≤9
（1）设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；并求出t为何值时，△OPQ面积最大
（2）t为何值时，△OPQ为直角三角形？t为何值时△OPQ为等腰三角形

Answer 1

解：（1）当t<=4时，P在CB上，OQ=2t,高为3，则S=2t*3/2=3t;
当t>4时，P在BA上，OQ=2t,高为3-[t-4]*sinA=27/5-3t/5，则S=2t*(27/5-3t/5)/2=-3t²/5+27t/5,开口向下的抛物线，在t=-27/5/(2*(-3/5))=4.5时，有最大值=12.15
（2）当t<=4时，∠OPQ为锐角；所以P点落在BA上才有形成直角三角形。用t表示出点P的坐标，利用△OPQ为直角三角形的勾股定理，建立t的等式，求解。（或者用斜率OP*PQ=-1建立方程）；
当t<=4时，P在CB上，△OPQ一直为等腰三角形；在t>4时，建立OP=PQ的等式求解。