Question

抽象代数证明题：设H是群G的一个非空子集，且H中每个元素的阶都有限。证明：H<＝G当且仅当H对G的乘法封闭

我想，有“设H是群G的一个非空子集”就可知“H<＝G”，还要“当且仅当H对G的乘法封闭”干什么？

Answer 1

H<＝G 即 H是G 的子群, “设H是群G的一个非空子集”只能说明 H是G的非空子集.

证明: 必要性是显然的
下证充分性, 即由H对G的乘法封闭推出H<=G.
(1)由H非空, 存在 h∈H.
由H中每个元素的阶都有限, 可设 h^k=e (G中单位元).
由H对G的乘法封闭, h^k=e ∈H. 即H有单位元.
(2)对H中任一元h.
由H中每个元素的阶都有限, 可设 h^k=e, 则 h^(-1) = h^(k-1)∈H.
即H中每个元都有逆元.
综上知H是G的子群, 即 H<=G#

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Answer 2

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