Question

已知x>;0,y>0，且1/x+9/y=1,求x+y的最小值

x＋y=(x＋y)(1/x＋9/y)”这一步叫什么

Answer 1

x＋y=(x＋y)(1/x＋9/y)=10＋y/x＋9x/y≥10＋6=16，最小值是16。当且仅当y/x=9x/y，即y=3x时取等号。

追问

“x＋y=(x＋y)(1/x＋9/y)”这一步叫什么

追答

充分利用1。这在不等式证明中经常用到，另外在三角中也有这样的运用。如：已知tana=1/3，求cos²a－3sinacosa，可以在分母上填上1=cos²a＋sin²a，再分子分母同除以cos²a，将此式子转化为含有tana的式子求值。

Answer 2

x+y=(x+y)*1=(x+y)*(1/x+9/y)=1+9+y/x+9x/y=10+y/x+9x/y
因为x,y∈(0,+∞)
运用基本不等式
x+y=10+y/x+9x/y＞＝2√9+10=16
当且仅当y/x=9x/y
y^2=9x^2时等号成立
y=3x 代入 1/x+9/y=1
解出x=4时 最小值为16

Answer 3

1/x + 9/y = 1 两边乘以xy 得到

y + 9x = xy => xy -9x -y =0 => x(y-9)-y+9 = 9 => (x-1)(y-9) = 9

两个数的乘积是定值，所以当它们相等的时候和最小 所以当 x-1 = y-9 =3的时候 x-1 + y -9 最小，也就是x+y这时候最小。 所以 x= 4 , y=12的时候 x+y值为16是最小的

追问

"1/x + 9/y = 1 两边乘以xy 得到"叫什么方法

Answer 4

1/x + 9/y = 1 两边乘以xy 得到

y + 9x = xy => xy -9x -y =0 => x(y-9)-y+9 = 9 => (x-1)(y-9) = 9

两个数的乘积是定值，所以当它们相等的时候和最小 所以当 x-1 = y-9 =3的时候 x-1 + y -9 最小，也就是x+y这时候最小。 所以 x= 4 , y=12的时候 x+y值为16是最小的
这个最好 1/x + 9/y = 1 两边乘以xy 是把分数化为其他的形式

Answer 5

令（x+y）*(1/x+9/Y)=1+9+y/x+9x/y
=10(9x/y+y/x)
≥10+2*3
≥16
所以最小值为16
或根据1/x+9/y=1 用含X的式子表示Y 代入X+Y
这里第一种解法是“1的妙用”第二种解法是常规的