Question

已知y^2=4x,过点M(0,2)的直线l与抛物线交于A,B两点，且直线l与x轴交于点C

（1 ）求证|MA|,|MC|、|MB|成等比数列。
（2 ）设向量MA=α向量AC,向量MB=β向量BC，试问α+β是否为定值，若是，求出此定值;若不是，请说明理由。

Answer 1

(1)设过M(0,2）的直线y-2=kx,联立y-2=kx和y^2=4x，可得k^2x^2+(4k-2)x+4=0
在判别式=-32+k^2>0时，有x1+x2=-4(k-1)/k^2,x1*x2=4/k^2
设A(x1,kx1+2) B(x2,kx2+2)
则|MC|^2=4/k^2+4
|MA|=根号(x1^2+k^2x1^2) |MB|=根号(x2^2+k^2x2^2)
所以|MA|*|MB|=根号（(1+2k^2+k^4)*16/k^4)=根号（（k^2+1）^2*4/k^2）=4/k^2+4
所以MA|*|MB|=|MC|^2，即|MA|,|MC|、|MB|成等比数列
（2）还没做出来,感觉上应该要用（1）结论，但是没做出
向量MA=α向量AC，所以向量MC=向量MA+向量AC=（α+1）向量AC。
利用（1）结论，|MC|^2=（α+1）^2*|AC|^2=|MA|*|MB|=α|AC|*β|BC|
所以|AC|/|BC|=（α+1）/β……再想想